Приклад побудови астроїди наведено на рис.2.
Гіпоциклоїда – крива на площині, що описується точкою кола, яка котиться внутрішньою стороною кола.
Гіпоциклоїда для меншого кола з радіусом r=1,0 і більшого кола з радіусом R=3,0:
Рис. 11. Побудова гіпоциклоїди.
Для даної гіпоциклоїди k=R/r=3.
Параметричні
рівняння гіпоциклоїди:
де
- радіус
нерухомого кола;
- радіус кола, що котиться.
Модуль
величини
визначає форму гіпоциклоїди. При
гіпоциклоїда являє собою діаметр
нерухомого кола, при
єастроїдою.
|
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
|
|
|
|
|
k=2,1
k=3,8
k=5,5
k=7,2Рис. 12. Приклади гіпоциклоїд.
Циклоїда
– трансцендентна
крива на площині, що описується
параметричними рівняннями:
Являє собоютраєкторію
точки кола радіуса r,
що котиться по прямій (по горизонтальній
осі координат - див. рис. 13). Графік
циклоїди для
показаний на рис. 14.
Рис. 13. Побудова циклоїди.
Рис. 14.
Графік циклоїди
Епіциклоїда – крива на площині, створена точкою кола, що котиться по іншому колу. Епіциклоїда описується параметричними рівняннями:
x = (R + mR)cos(mt) − mcos(t + mt),
y = (R + mR)sin(mt) − msin(t + mt),
де
;R
- радіус нерухомого кола; r
- радіус кола, що котиться. При m=
1
епіциклоїда утворює кардіоїду.
Модуль величини m визначає форму епіциклоїди. На рисунку 15 показані епіциклоїди при m = 1 / 10, m = 1 / 3 и m = 2 / 3.
Рис. 15. Приклади епіциклоїд.
Логарифмічна спіраль - крива на площині (див. Рис. 16), що описується у полярних координатах рівнянням:
Трипелюсткова
троянда
- крива на площині, що описується у
полярних координатах рівнянням:
або
(див. рис. 17).
Дванадцятипелюсткова
троянда -
крива на площині, що описується у полярних
координатах рівнянням:
або
(див. рис. 18).
Рис. 16.
Графік логарифмічної спіралі
Рис. 17.
Графік трипелюсткової троянди
та
.
Рис. 18.
Графік дванадцятипелюсткової троянди
та
.
Лемніската
Бернуллі
описується у полярних координатах
рівнянням
Рис. 19.
Графік лемніскати Бернуллі
Гіперболічний
синус
описується у декартових координатах
рівнянням
.
Рис. 20.
Графік гіперболічного косинусу
.
Побудова гіперболічного косинусу показана на рис. 1.
Капа
- крива на площині, що описується у
полярних координатах рівнянням
.
Побудова капи для
показана на рис. 21.
Рис. 21.
Графік капи
.
Приклади алгебраїчних кривих третього порядку
|
1. Декартів лист x3 + y3 – 3axy = 0, a = 2 або
|
2. Парабола Нейля |y| = –cx3/2, c = –2. |
|
3.
Строфоїда
|
4.
Циссоїда Диоклеса
|
.
або
або
|
Приклади алгебраїчних кривих четвертого і більш високих порядків
| |
|
5. Кардіоїда (x2 + y2 – 2ax)2 = 4a (x2 + y2) або r = 2a (1 + cos φ), a = 2. |
6. Конхоїда Нікомеда або |
|
7. Конхоїда Нікомеда
|
8. Лемниската Бернуллі (x2 + y2)2 – 2a2(x2 – y2) = 0 або r2 = 2a2 cos 2φ, a = 2. |
|
9. Равлик Паскаля (x2 + y2 – 2Rx)2 – l2(x2 + y2) = 0 або r = 2R cos φ + a, 2R = l. l = 2, R = 1. |
(x2 + y2 – 2Rx)2 – l2(x2 + y2) = 0 або r = 2R cos φ + l, 4R > l. l = 6, R = 4. |
|
11. Овал Кассіні
або
|
12.
Овал Кассіні
або
|
|
13.
Овал Кассіні
або
|
14. Астроїда x2 / 3 + y2 / 3 = a2 / 3, a = 4 або x = a cos3t; y= a sin3t. |
|
15. Троянда r = a sin mφ, m = 3, a = 4. |
16. Троянда r = a sin2mφ, m = 2, a = 4. |
|
17. Троянда r = a sin mφ, m = 7 / 3, a = 4. |
18. Синусоїдальна спіраль rm = am cos mφ, m = 1 / 2, a = 9.
|
|
19. Синусоїдальна спіраль rm = am cos mφ, m = 2, a = 3. |
20. Синусоїдальна спіраль rm = am cos mφ, m = –2, a = 4. |
|
21. Синусоїдальна спіраль rm = am cos mφ, m = 4, a = 3. |
22. Синусоїдальна спіраль rm = am cos mφ, m = 6 / 7, a = 5.
|
або
10.
Равлик Паскаля
|
Приклади трансцендентних кривих
| |
|
23. Архімедова спіраль r = aφ, a = 2 |
24. Гіперболічна спіраль
|
|
25. Логарифмічна спіраль r = aekφ, a = 2, k = 0,2. |
26. Жезл
|
|
Приклади циклоїдальних кривих
| |
|
27. Циклоїда
|
28. Циклоїда
|
|
29. Циклоїда
|
30.
Гіпоциклоїда
|
|
31.
Епіциклоїда
|
32.
Епіциклоїда
|
|
33.
Епітрохоїда
|
34.
Епітрохоїда
|
|
35.
Гіпотрохоїда
|
36.
Гіпотрохоїда
|
