
Рассмотрим производную
.
Отсюда
.
Таким
образом,
.
Свойство доказано.
Зависимость дюрации облигации от срока до погашения при неизменных f и r, где f и r – купонная ставка и внутренняя доходность облигации соответственно, сформулируем в виде следующих утверждений. Пусть Dn – дюрация облигации, платежи по которой выплачиваются m раз в год и до погашения которой остается n купонных периодов. Тогда
6а.
.
6b.
Если
,
то последовательность {Dn}
является возрастающей.
6с. Если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей.
Доказательство. 6а. Согласно (11.14), дюрация облигации при τ = 0, когда до погашения остается n купонных периодов, равна
. (11.17)
Так как
,
то
,
где
<
1. Поскольку
,то получаем
.
Так как обычно r мало, то
.
Тогда
.
(11.18)
Заметим, что значение предела не зависит от купонной ставки облигации.
6b.
Пусть
.
Для простоты будем считать, что платежи
по облигации выплачиваются раз в год
(m
= 1) и до ее погашения остается n
лет (τ = 0). Тогда дюрация купонной
облигации равна
.
Используем
обозначение
.
Тогда
.
Так
как
,
,
то
,
где
a
= (1 – p)(1
– p
–
fp).
Покажем,
что
.
Рассмотрим разность
Dn+1
– Dn
=
=
=
,
где
.
Покажем, что B > 0. Используем метод математической индукции по числу оставшихся до погашения облигации купонных платежей.
Основание индукции n = 0. Тогда
.
Заметим, что при n = 0 разность D1 – D0 = 1, т.к. D1 = 1 - дюрация облигации за год до погашения, когда она уже является чисто дисконтной, D0 = 0 - дюрация облигации в день погашения сразу после купонной выплаты.
Предположим, что B > 0 при n = k, т.е.
.
Пусть теперь n = k + 1. Рассмотрим
.
По предположению индукции Bk > 0.
,
так
как
,
при
.
Следовательно,Bk+1
>
0. Отсюда
B
> 0 для любого целого неотрицательного
n.
Значит,
Dn+1
– Dn
> 0.
Утверждение доказано.
На
рис. 1.11.2 показана зависимость дюрации
облигации от срока до погашения при
,m
= 1, τ = 0.
Рис. 1.11.2
6с.
Пусть
.
Дюрация купонной облигации, платежи по
которой выплачиваются раз в год (m
= 1) и до
погашения остается n
лет
(τ = 0), равна
.
Рассмотрим разность
Dn+1
– Dn
=
,
где
,
a
= (1 – p)(1
– p
–
fp),
.
Преобразуем это выражение к виду:
.
(11.19)
Легко
убедиться, что если
,
то B
> 0 (следовательно
).
С другой стороны, если n
достаточно
велико, например
,
то B <
0 (следовательно,
).
Действительно,
.
Следовательно,
существует срок, когда разность
изменяет знак. В качестве приближенного
значения такого срока можно взять
(целую часть). Число
получено
при условии, что
,когда
выражение в квадратных скобках в (11.19)
равно нулю. Равенство является приближенным
с точностью до
.
Следовательно, чем ближе значения r
и f
, тем точнее полученное данным методом
значение
,
что и подтверждается расчетами для
r
= 25% и ряда
значений
f.
f |
|
|
Значение n (лет), при котором Dn+1 - Dn меняет знак (точное) |
3 % |
9,7 |
9 |
12 |
5 % |
10,3 |
10 |
12 |
10 % |
12,3 |
12 |
13 |
15 % |
16,5 |
16 |
17 |
20 % |
29,0 |
29 |
30 |
23 % |
66,5 |
66 |
67 |
24 % |
129,0 |
129 |
129 |
Из выражения для n0 следует, что чем ближе значения r и f , тем больше срок n0. Кроме того, несложно убедиться, что чем больше купонная ставка f, тем больше n0. Эти выводы подтверждаются приведенными расчетами. Элементы последнего столбца в этой таблице получены из непосредственных вычислений дюрации облигации для различных значений n по формуле (11.17). Пример таких вычислений для купонных ставок f1 = 5% и f2 = 10% показан в следующей таблице:
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
Df1 |
1 |
1,94 |
2,82 |
3,60 |
4,29 |
4,87 |
5,34 |
5,70 |
5,96 |
6,13 |
6,21 |
6,24 |
6,22 |
6,16 |
6,08 |
Df2 |
1 |
1,90 |
2,68 |
3,35 |
3,90 |
4,34 |
4,68 |
4,93 |
5,11 |
5,23 |
5,30 |
5,34 |
5,36 |
5,35 |
5,33 |
Покажем,
что если
,
то
для любого
.
Имеем
,
где
.
Установим знак B
при условии
.
B
,
так
как
и
.
Значит
.
Следовательно,
если
f
<
r,
то можно указать число n0
такое, что
для облигаций с числом периодов до
погашения n
<
n0
последовательность
{Dn}
является
возрастающей. Таким образом,
если
облигации
A1,
A2,
…, Ak
продаются
с дисконтом и число периодов до их
погашения n1
< n2
< …< nk
<
n0,
то при прочих равных условиях Dn1
< Dn2
<…<
<
,
где Dn1
, Dn2
,…,
– дюрации
этих облигаций.
Покажем,
что значение дюрации
облигации
со сроком погашения n0
удовлетворяет неравенству
, где
при m
= 1 (см. пункт
6а).
Предположим противное. Пусть
.
Следовательно
.Отсюда,
учитывая, что
при
,
получаем
. Противоречие, так как
.
Следовательно, приf
<
r
характер зависимости дюрации облигации
от срока до погашения имеет вид, показанный
на рисунке 1.11.3. На этом рисунке показана
зависимость дюрации облигации от срока
до погашения для купонных ставок
.
Рис. 1.11.3.