
- •1.13. Инвестиции в портфель облигаций.
- •Пример 13.1. Сформирован портфель п(2000, 3000, 2000) из облигаций трех видов, потоки платежей по которым указаны в таблице. Определить поток платежей от этого портфеля.
- •1) Средневзвешенная доходность портфеля rср.; 2) внутренняя ставка доходности rP .
- •5. Если заданное значение дюрации портфеля d удовлетворяет условию
- •6. Иммунизирующее свойство дюрации портфеля.
- •Решение.
5. Если заданное значение дюрации портфеля d удовлетворяет условию
,
то задача линейного программирования
(13.11) разрешима.
Действительно,
для разрешимости задачи линейного
программирования необходимо и достаточно,
чтобы множество допустимых решений
задачи было не пусто, а целевая функция
ограничена снизу на множестве допустимых
решений задачи. Согласно свойству 3,
если число D
удовлетворяет указанному двойному
неравенству, то множество допустимых
решений задачи (13.11) не пусто. Так как
0,
то целевая функция ограничена снизу на
множестве допустимых решений задачи.
Свойство доказано.
Пусть
T
лет – срок, на который сформирован
портфель облигаций (инвестиционный
горизонт). Для оценки портфеля через t
лет после покупки, где t
[0, T],
используем понятие стоимости инвестиции
в портфель в момент
t.
Если
в момент формирования портфеля t
= 0 безрисковые процентные ставки для
всех сроков одинаковы и равны r
и после
покупки портфеля временная структура
процентных ставок остается неизменной
до окончания срока T,
то Ω(r,
t)
– планируемая стоимость инвестиции в
портфель в момент t[0,
T].
Если сразу после формирования портфеля
процентные ставки для всех сроков
изменились на одну и ту же величину и
остались на новом уровне
в течение всего инвестиционного периода,
то Ω(
,
t)
– фактическая стоимость инвестиции в
портфель в момент t
[0,
T].
Стоимости Ω(r,
t)
и Ω(
,
t)
рассчитываются, исходя из тех же
принципов, что и в случае облигации.
Тогда
, (13.12)
, (13.13)
где R1, R2, …, Rn в моменты t1 , t2,…, tn – ожидаемый поток платежей от портфеля.
Таким образом,
Ω(r, t) = Rt(r) + Pt(r),
Ω(,
t)
= Rt(
)
+ Pt(
),
где
Rt(r)
и Rt()
–
результат
реинвестирования к моменту t
доходов от портфеля под ставку r
или
соответственно; Pt(r)
и Pt(
)
–
планируемая
и фактическая рыночная стоимость
портфеля в момент t.
Ω(r,
t)
и Ω(,
t)
обладают теми же свойствами, что и
планируемая и фактическая стоимости
инвестиции в облигацию. Тогда
Ω(r,
t)
=
,
(13.14)
Ω(,
t)
=
.
(13.15)
где
Ω(r)
= Ω – цена покупки портфеля, Ω()
– оценка портфеля на момент t
= 0, соответствующая новой временной
структуре процентных ставок сразу после
t
= 0.
6. Иммунизирующее свойство дюрации портфеля.
Пусть DP = DP(r) – дюрация портфеля облигаций в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации портфеля, t = DP, фактическая стоимость инвестиции в портфель не меньше планируемой, т.е.
Ω (,
DP)
Ω (r,
DP)
(13.16)
для
любых значений
.
Действительно, если портфель П(Ω1, Ω2,…, Ωm) эквивалентен одной облигации без кредитного риска, то иммунизирующее свойство дюрации облигации (теорема 12.1) переходит в иммунизирующее свойство дюрации портфеля.
На этом свойстве дюрации портфеля облигаций основан принцип формирования иммунизированного портфеля. В 1952 году Ф. Реддингтон, один из основателей стратегии иммунизации, впервые ввел понятие иммунизации портфеля облигаций и сформулировал условие иммунизации: для защиты стоимости портфеля от изменений рыночной процентной ставки необходимо, чтобы дюрация портфеля совпадала с его инвестиционным горизонтом. Таким образом, чтобы сформировать иммунизированный портфель с инвестиционным горизонтом T лет, необходимо решить систему:
(13.17)
ωj
0,
j
= 1, 2,…, m.
Если
срок портфеля T
удовлетворяет неравенству
,
то по свойству 3 дюрации портфеля система
(13.17) разрешима. Тогда дюрация портфеля,
сформированного в соответствии с
решением системы (13.17), совпадает с его
инвестиционным горизонтом, DP
= T,
и по свойству 6
Ω (,T)
Ω (r,
T).
(13.18).
Пример 13.3. Портфель формируется из купонных облигаций двух видов, характеристики которых на момент покупки портфеля (t = 0) приведены в таблице:
Облигация |
А, д.е. |
f |
m |
T, годы |
А1 |
100 |
5% |
2 |
2 |
А2 |
100 |
8% |
1 |
2 |
В облигации первого вида инвестировано 4000 д.е., в облигации второго вида – 6000 д.е. В момент покупки портфеля безрисковые процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы и равны 9% годовых. Сразу после формирования портфеля процентные ставки снизились до 8% годовых, и затем уже не изменялись. Определить:
1) поток платежей от портфеля, его дюрацию и показатель выпуклости;
2) относительное изменение цены портфеля при изменении процентных ставок на рынке с 9 до 8% годовых;
3) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени t = 2 года (момент погашения всех облигаций из портфеля);
4) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени, равный дюрации портфеля (t = DP).