Тема 19

Выравнивание динамических рядов и выявление основной тенденции ряда

После изучения этой темы вы сможете:

1. раскрыть природу выравнивания динамических рядов как базы для определения основной тенденции (тренда) развития процессов и явлений;

2. объяснить разные методы механического и аналитического выравнивания, их содержание и направления практического использования;

3. на примере выбранных вами динамических рядов получить практические навыки их выравнивания, в том числе и аналитического.

Рассмотренные в предыдущей теме показатели динамики позволяют выявить скорость и интенсивность развития исследуемых явлений, что само по себе важно, но это лишь первый этап анализа динамических рядов. Дальше идут более сложные обобщения с выявлением основной тенденции, или, иначе, тренда и колеблемости рядов.

Под тенденцией понимается общее направление к росту, снижению или стабилизации уровня явления с течением времени. Однако, и рост, и снижение уровня могут происходить по-разному: либо равномерно, либо ускоренно, либо замедленно.

Равномерным рост (или снижение) будет в том случае, если он осуществляется с постоянной абсолютной скоростью, когда цепные абсолютные приросты одинаковы.

При ускоренном росте или снижении цепные приросты систематически увеличиваются по абсолютной величине, а при замедленном росте или снижении - уменьшаются (тоже по модулю). Но практически такая равномерность встречается редко и имеют место отклонения от строгой закономерности. Это и вынуждает нас говорить не о росте или снижении уровня, а о его тенденции к росту или снижению. И, более того, не просто о тенденции развития, а об основной тенденции на протяжении данного этапа развития.

Основной тенденцией (трендом) называется достаточно плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, более или менее свободное от случайных колебаний. Ее можно представить либо аналитически - в виде уравнения (модели) тренда, либо графически.

В статистике используются различные приемы и способы выявления и характеристики основной тенденции и прежде всего выравнивание и сглаживание рядов динамики специальными методами: укрупнением интервалов, скользящей средней и аналитическим выравниванием.

Укрупнение интервалов сводится к переходу от интервалов менее продолжительных к более продолжительным, и при необходимости он может быть постепенным от малых интервалов ко все более крупным, пока общее направление тренда не станет достаточно отчетливым.

Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее начиная с третьего и т.д.

Таким образом, при расчетах среднего уровня мы как бы "скользим" (почему метод и называется методом скользящей средней) по временному ряду от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.

Этим методом по особому укрупняются интервалы времени: вместо каждого уровня данного ряда берутся средние скользящие из рядом стоящих уровней, в которых и сглаживаются случайные отклонения.

Скользящая средняя обладает достаточной гибкостью, позволяющей все же уловить особенности изменения тенденции, хотя сглаживаемый ряд и сокращается с обоих концов на определенное число уровней. Более существенное замечание в адрес этого метода - скользящая средняя не дает аналитического выражения тренда.

Для ряда внутригодовой динамики с сезонными циклами развития явления по одноименным кварталам года применяют четырехчленные скользящие средние.

Расчет состоит в определении средних величин из четырех уровней ряда с отбрасыванием при вычислении каждой новой средней одного уровня ряда слева и присоединением одного уровня ряда слева и присоединением одного уровня справа:

Y1=, y2 = .

Y3 = , y4 = и т.д.

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание (определение тренда). В этом случае фактические уровни ряда заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной функции, выбранной в предположении, что она наилучшим образом описывает эмпирические данные.

Часто задача решается как мы уже отмечали с помощью метода наименьших квадратов, когда наилучшим приближением выровненных данных к эмпирическим считается такое, при котором сумма квадратов их отклонений минимальна.

В практике исследований применяется аналитическое выравнивание по прямой, параболе разных порядков, гиперболе, экспоненте.

Динамика рядов экономических показателей в общем случае складывается из четырех компонентов:

1. тенденции,  характеризующей долговременную основную закономерность развития исследуемого явления;

2. периодичного компонента, связанного с влиянием сезонности развития изучаемого явления;

3. циклического компонента, характеризующего циклические колебания, свойственные любому воспроизводству

4. случайного компонента как результата влияния множества случайных факторов.

Тенденцию ряда динамики представляют в виде гладкой кривой (траектории), которая аналитически выражается некоторой функцией времени, называемой трендом.

Тренд характеризует основную закономерность движения во времени, свободную в основном (но не полностью) от случайных воздействий.

Уровни временного ряда описывают следующим уравнением тренда:

Yt =f(t)+

Где f(t) –систематическая составляющая, характеризующая основную тенденцию; t – случайная составляющая.

Приведем модели трендов, наиболее часто используемые при анализе экономических временных рядов, а также во многих других областях.

Во-первых, это простая линейная модель

где а₀, а₁ – коэффициенты модели тренда;

t – время.

В качестве единицы времени может быть час, день (сутки), неделя, месяц, квартал или год. Модель несмотря на свою простоту, оказывается полезной во многих реальных задачах.

Если нелинейный характер тренда очевиден, то может подойти одна из следующих моделей:

1. Полиномиальная:

где значение степени полинома п в практических задачах редко превышает 5;

2. Логарифмическая:

Эта модель чаще всего применяется для данных, имеющих тенденцию сохранять постоянные темпы прироста;

3. Логистическая:

4. Гомперца

где

Две последние модели задают кривые тренда S-образной формы. Они соответствуют процессам с постепенно возрастающими темпами роста в начальной стадии и постепенно затухающими темпами роста в конце.

Необходимость подобных моделей обусловлена невозможностью многих экономических процессов продолжительное время развиваться с постоянными темпами роста или по полиномиальным моделям, в связи с их довольно быстрым ростом (или уменьшением).

Существует несколько подходов к сглаживанию временных рядов:

1. Простое сглаживание.

2. Метод взвешенной скользящей средней.

3. Метод экспоненциального сглаживания Брауна.

Простое сглаживание основано на преобразовании исходного ряда в другой, значения которого являются усредненными по трем рядом стоящим точкам временного ряда:

для 1-го члена ряда

для n-го (последнего) члена ряда

Метод взвешенной скользящей средней отличается от простого сглаживания тем, что включает параметр w_t, который позволяет вести сглаживание по 5 или 7 точкам

Для полиномов 2 го и 3 го порядков значение параметра w_t . таблица 10.

определяется из следующей

таблицы 9

m = 5	-3	12	17	12	-3
m = 7	-2	3	5	7	6	3	-2

Метод экспоненциального сглаживания Брауна использует предшествующие значений ряда, взятые с определенным весом. Причем вес уменьшается по мере удаления его от текущего времени

,

Месяц	Yt	Y1t	Y2t
1	237	232	236
2	241	251	242
3	274	248	242
4	228	241	234
5	222	214	223
6	193	210	217
7	217	212	220
8	226	227	232
9	238	253	250
10	295	269	268
11	274	289	283
12	298	292	295
13	303	306	307
14	318	325	317
15	353	326	320
16	306	323	316
17	310	298	309
18	279	303	309
19	319	309	316
20	327	337	327
21	365	339	332
22	323	337	329
23	321	313	322
24	296	313	320
25	323	318	326
26	336	337	342
27	351	366	363
28	411	386	384
29	394	409	403
30	420	414	418

где а – параметр сглаживания (1 > a > 0); (1 - а) – коэф. дисконтирования.

Параметр а рекомендуется выбирать в пределах от 0,35 до 1.

S_o обычно выбирается равным Y₁ или среднему из первых трех значений ряда.

Проведем простое сглаживание ряда. Результаты сглаживания ряда приведены в таблице 10. Полученные результаты представлены графически на графике 9. Повторное применение процедуры сглаживания к временному

ряду позволяет получить более гладкую кривую. Результаты расчетов повторного сглаживания также представлены в таблице 8. Найдем оценки параметров линейной модели тренда по методике, рассмотренной в предыдущем разделе. Результаты расчетов следующие:

Таблица11

Множественный R	0,933302
R-квадрат	0,871052
`a0 = 212,9729043 `t = 30,26026442 `a1 = 5,533978254 `t = 13,50506944 F = 182,3869

Уточненный график с линией тренда и моделью тренда представлен на графике 9 .

График 9 Временной ряд после первого применения процедуры простого сглаживания (Y_1t)

График 10. Временной ряд после второго применения процедуры простого сглаживания (Y_t2)

График 11

Следующий этап заключается в удалении тренда из исходного временного ряда.

Для удаления тренда вычтем из каждого элемента первоначального ряда значения, рассчитанные по модели тренда. Полученные значения представим графически на графике12.

График 12

Полученные остатки, как видно из рис. группируются около нуля, а это значит, что ряд близок к стационарному.

Для построения гистограммы распределения остатков рассчитывают интервалы группирования остатков ряда. Количество интервалов определяют из условия среднего попадания в интервал 3-4 наблюдения. Для нашего случая возьмем 8 интервалов. Размах ряда (крайние значения) от –40 до +40. Ширина интервала определяется как 80/8 =10. Границы интервалов рассчитываются от минимального значения размаха полученного ряда.

Таблица 12

1	2	3	4	5	6	7	8	9
-40	-30	-20	-10	0	10	20	30	40

Теперь определим накопленные частоты попадания остатков ряда в каждый интервал и нарисуем гистограмму (график 13).

График 13

Рис.25

Анализ гистограммы показывает, что остатки группируются около 0. Однако в области от 30 до 40 есть некоторый локальный выброс, который свидетельствует о том, что не учтены и не удалены из исходного временного ряда некоторые сезонные или циклически компоненты.

Более точно о характере распределения и его принадлежности к нормальному распределению можно сделать выводы после проверки статистической гипотезы о характере распределения остатков. При ручной обработке рядов обычно ограничиваются визуальным анализом полученных рядов. При обработке на компьютере с использованием специальных статистических пакетов существует возможность более полного анализа.

Что же является критерием завершения анализа временного ряда? Обычно исследователи используют два критерия.

Первый критерий качества подобранной модели временного ряда основан на анализе остатков ряда после удаления из него тренда и других компонент. Объективные оценки основаны на проверке гипотезы о нормальном распределении остатков и равенстве нулю выборочного среднего. При ручных методах расчета иногда оценивают показатели ассиметрии и эксцесса полученного распределения. Если они близки к нулю, то распределение считается близким к нормальному.

Ассиметрия, А рассчитывается как:

В том случае, если A < 0, то эмпирическое распределение несимметрично и сдвинуто вправо. При A > 0 распределение имеет сдвиг влево. При A = 0 распределение симметрично.

Эксцесс, Е. Показатель, характеризующий выпуклость или вогнутость эмпирических распределений

В том случае, если Е больше или равно нулю, то распределение выпукло, в других случаях вогнуто.

Второй критерий основан на анализе коррелограммы преобразованного временного ряда. В том случае, если корреляции между отдельными измерениями отсутствуют или меньше заданного значения (обычно 0.1) считается, что все компоненты ряда учтены и удалены и остатки не коррелированы между собой. В остатках ряда осталась некая случайная компонента, которая называется «белый шум».

При прогнозировании тренд используют в первую очередь для долговременных прогнозов. Точность краткосрочных прогнозов, основанных только на подобранной кривой тренда, как правило, недостаточна.

Аналитическое выравнивание динамического ряда делает более четким направление основной тенденции и одновременно дает числовую ее характеристику. Так, параметр а, при выравнивании по прямой - это абсолютный прирост выравненного уровня за единицу времени, или средний абсолютный прирост с учетом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической прогрессии).

Выбор формы кривой для выравнивания осуществляется на основе анализа сущности изучаемого явления и характера его динамики. Если рост происходит в арифметической прогрессии, то для выравнивания используется уравнение прямой. Динамика в геометрической прогрессии вынуждает пользоваться уравнением кривой более высокого порядка.

На практике аналитическое выравнивание рядов динамики часто проводится по параболе второго порядка.

Простейшая экстраполяция тренда при помощи MS Excel осуществляется очень просто:

Предположим мы имеем следующий тренд:

Таблица 13

годы	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
выпуск продукции	564	457	521	584	555	578	586	582	590

Требуется сделать прогноз на ближайшие пять лет.

Для этого надо выделить обе строки и подведем курсор к крайней ячейке к правому нижнему углу (как это показано на рисунке 14) пока там не появится черный крест, который называется маркером автозаполнения

Рисунок 14

После чего протянем при помощи нажатой левой кнопки мыши тренд на пять лет и получаем результат:

Таблица 14

годы	2009	2010	2011	2012	2013
выпуск продукции	607,6944	617,7444	627,7944	637,8444	647,8944

Сглаженный четырнадцатилетний тренд очень хорошо видно на графике 14

График 14

3 а д а н и е

Выпишите формулы, встретившиеся вам по тексту данной темы, и дайте им краткие пояснения.

При помощи компьютера поупражняйтесь в прогнозировании

Уровень динамического ряда складывается под воздействием многих факторов, и не только систематических и случайных, о которых до сих пор говорилось. Он подвержен влиянию и периодических, или сезонных, колебаний. Это внутригодичные колебания, имеющие более или менее устойчивый характер. Более всего они проявляются в сельском хозяйстве, хотя имеют место и в других отраслях и сферах деятельности. В задачу статистики входит изучение и измерение этих колебаний, с тем чтобы исключить их влияние на общую динамику ряда и выявить чистую (случайную) его колеблемость. Теория предлагает разные способы решения этой задачи, в том числе определение абсолютных и относитель­ных (в процентах) отклонений месячных (квартальных) фактических уровней от средних или выравненных уровней ряда за изучаемые периоды времени. Средняя берется в случае, если уровень ряда не испытывает значительных случайных колебаний и когда основная тенденция ряда выражается средним уровнем. В других случаях используется выравненная средняя. Мерой сезонных колебаний обычно выступает индекс сезонно­сти, или коэффициент сезонности, как отношение фактического уровня за тот или иной месяц к выравненному уровню за месяц:

За квартал соотносятся средние фактические и выравненные уровни одноименных месяцев. Часто индекс сезонности выражается в процентах, т.е. 100%. Для оценки колеблемости динамического ряда в течение года из-за сезонных колебаний могут быть использованы известные показатели вариации и, в частности, среднее квадратическое отклонение месячных (квартальных) индексов сезонности (в %) от 100%

Аналитическое выравнивание динамических рядов можно рассматривать как один из методов статистического прогнозирования. Элементами его выступают интерполяция и экстраполяции, с помощью которых статистика решает проблему недостающих уровней в динамических рядах. Интерполяцией называется приблизительный расчет недостающих уровней внутри однородного периода, когда известны уровни, лежащие по обе стороны неизвестного. Экстраполяция - приблизительный расчет недостающего уровня, когда известны уровни, лежащие только по одну сторону неизвестного. Это уже прямо связано с прогнозированием. Недаром экстраполяцию называют продлением в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Интерполирование (как и экстраполирование) можно осуществить или по конкретным прилегающим абсолютным приростам (темпам роста), или по средним из них за весь период. Если в ряду нет резких колебаний, интерполяцию (экстраполяцию) следует произвести по смежным производным показателям - в них лучше отражается конкретность изменений уровней ряда. При наличии в ряду значительных колебаний предпочтительнее использовать средние величины.