Тема 15

Средняя и предельная ошибки выборки

После изучения этой темы вы сможете:

обосновать природу ошибок выборки;

объяснить формулы расчета средней и предельной ошибок выборки по количественным и альтернативным признакам, способам и видам отбора;

получить представление о малой выборке и моментно выборочном наблюдении;

провести практические расчеты по определению ошибок выборки.

В теме 4 уже отмечалась неизбежность ошибок любого выборочного статистического наблюдения, которая обусловливается расхождением его результатов с реальной действительностью. Вы были ознакомлены с причинами и видами ошибок.

Помимо общих для статистики ошибок регистрации, случайных, технических и преднамеренных ошибок выборочному наблюдению свойственны и особые ошибки - ошибки репрезентативности.

Под ними понимают расхождения между показателями выборочной и генеральной совокупности. Они возникают по двум причинам: из-за нарушения принципа случайности как основного принципа выборки - систематические ошибки — и в результате случайности отбора - случайные ошибки.

Первые иногда называют ошибками смещения, они могут быть преднамеренными (при тенденциозном отборе единиц) и непреднамеренными (при подготовке наблюдения, формировании выборочной совокупности и т.д.). Случайные ошибки носят объективный характер и возникают в результате случайных различий между единицами, попавшими в выборку, и единицами генеральной совокупности. Поэтому и структуры этих совокупностей чаще всего не совпадают. Научным обоснованием случайных ошибок выборки является теория вероятностей и ее предельные теоремы.

Применительно к выборочному наблюдению пользуются теоремами русских математиков П.Л.Чебышева и А.М.Ляпунова. Согласно этим теоремам, с увеличением численности выборки размеры случайных ошибок сокращаются. Из этого следует, что при достаточно большом объеме выборки случайная ошибка будет сколь угодно мала, и что характеристики выборочного наблюдения могут надлежащим образом представлять генеральную совокупность.

Предельные теоремы исходят из закона нормального распределения, по которому большая часть выборочных средних сосредоточивается около генеральной средней. Эти теоремы позволяют определять размер случайных ошибок выборки. Различают среднюю и предельную ошибку выборки.

Под средней ошибкой понимают такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностями. Предельной ошибкой принято считать максимально возможное расхождение этих средних, т.е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления. На основании теоремы П.Л.Чебышева величина средней ошибки собственно-случайного повторного отбора с достаточно большой выборкой при изучении средних показателей определяется по формуле:

где — дисперсия признака х в выборочной совокупности;

п — численность выборочной совокупности.

Иными словами, величина средней ошибки прямо пропорциональна колеблемости признака в выборочной совокупности и обратно пропорциональна корню квадратному из объема выборки. По теории, лучше взять дисперсию в генеральной совокупности, но она как правило неизвестна, как неизвестна и генеральная средняя..

Предельная ошибка выборки (Δ) определяется по формуле:

где t — заданный коэффициент доверия.

Так, при t = 1 величина предельной ошибки составит Δ = µ, которая гарантируется с вероятностью 0,683. Это означает, что в 683 выборках из тысячи подобных максимальная ошибка выборки (предельная) не превысит ±1µ При t = 2 с вероятностью 0,954 она не выйдет за пределы ±2µ и т.д. В практике выборочных наблюдений достаточен предел ±3µ. По величине предельной ошибки можно определять предельные значения характеристик генеральной совокупности при заданной вероятности, а именно:

х-Δ<х<х+Δ.

Это означает, что с заданной вероятностью значение генеральной средней будет находиться в пределах от х - Δ до х + Δ.

При изучении альтернативного признака (доли w) формула средней ошибки выборки для доли в соответствии с теоремой Я.Бернулли имеет вид:

где w(1 - w).- дисперсия доли изучаемого признака в выборочной совокупности (лучше брать дисперсию доли признака в генеральной совокупности), если, конечно, она известна). Предельная ошибка альтернативного признака (Δ) определяется аналогично указанной выше формуле.

Практический интерес представляет и показатель относительной ошибки выборки как процентное отношение предельной ошибки выборки к соответствующей характеристике выборочной совокупности:

Следует заметить, что величина ошибки выборки не может не зависеть от способа и вида отбора единиц. Так, при том же собственно-случайном, но бесповторном способе отборе, расчет средней ошибки производится по несколько иной формуле:

где доля единиц генеральной совокупности, не попавших в выборку.

Поскольку эта доля меньше 1, ошибка выборки здесь, при прочих равных условиях, всегда меньше, чем при повторном. Кстати, он проще, чем повторный, и применяется чаще. Если доля единиц генеральной совокупности, не попавших в выборку, большая, величина близка к единице, и тогда расчет средней ошибки производится по общей формуле. По этим же формулам исчисляются и ошибки механического отбора.

При типической выборке (районированной, стратифицированной) средняя ошибка выборки будет зависеть не от величины общей дисперсии, а от величины средней из групповых дисперсий. Поскольку эта дисперсия всегда меньше общей, постольку средняя ошибка типической выборки, при прочих равных условиях, будет меньше средней ошибки собственно-случайного отбора.

Средняя ошибка серийной (гнездовой) выборки определяется по формуле:

Где r — число отобранных серий.

В практике выборочных наблюдений чаще всего применяются комбинированные выборки в разном сочетании их способов и видов.

В исследовании многих процессов применяется моментно-выборочное наблюдение. Выборочным такое наблюдение является по времени. Из всего фонда времени в наблюдение попадает лишь его часть, т.е. время, в течение которого ведется регистрация. По охвату же объекта оно сплошное, и чаще всего применяется для определения средней структуры или средней длительности изучаемых процессов. Отбор в выборочную совокупность моментных состояний объекта (именно они выступают здесь единицами и совокупности и наблюдения) осуществляется преимущественно механически. Необходимая численность выборки - число моментных наблюдений определяется по формуле:

где w— удельный вес изучаемого элемента в долях единицы; d— заранее установленная относительная ошибка наблюдения в процентах. Как правило, t в условиях стабильной ситуации принимается за 2, нестабильной -за 3.

3адание:

Вам предлагается выписать все формулы ошибок выборки, рассмотренные в этой теме, и высказать по ним свои суждения.

Используя исходные данные контрольного задания из темы 5, проведите малую выборку по определенному вами признаку, объему выборки, способу и виду отбора и выполните необходимые расчеты по результатам выборки.