Лекция №6 механические волны. Акустика.

1. Механические волны. Уравнение волны. Волновое уравнение.

Если какое-либо тело совершает колебания в упругой среде, то оно взаимодействует с частицами среды и заставляет их совершать вынужденные колебания. Постепенно всё более удалённые частицы вовлекаются в колебательное движение.

Процесс распространения колебаний, или особых возмущений состояния вещества или поля в пространстве с течением времени называют волнами. Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны, и продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны.

Упругие волны возникают благодаря связи, существующей между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с определённой скоростью.

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты её равновесного положения и времени. Для волны, распространяющейся вдоль оси OXв общем виде эта зависимость имеет вид:S=f(x,t).

Выведем уравнение плоской волны. Если источник волн находится в точке с координатой X= 0 (точка А), рис.1, то уравнение колебаний определяется формулой:.

До точкиBс некоторой координатойXвозмущение дойдёт за время τ, поэтому колебание этой точки запаздывают:

или, где- скорость распространения волны. При этом предполагается, что в процессе распространения волны не происходит её затухание. Время запаздывания может быть выражено: , где- длина волны, тогда:

;

или: , .

Полученное соотношение и есть уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X.

Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, возьмём вторые частные производные по координате и времени от уравнения плоской волны :

; ; (1)

; . (2)

Сопоставляя вторые производные, находим, что при умножении обеих частей уравнения (1) на правые части уравнения (1) и (2) будут равны, а, значит, равны и левые:. (3)

Уравнение (3) и есть искомое волновое уравнение, т.к. оно получено из уравнения плоской волны, распространяющейся вдоль оси Xи представляет частный случай более общего уравнения:

.

2. Энергия волны. Вектор Умова.

Волновой процесс в среде связан с распространением энергии колебаний.

Чтобы подсчитать энергию, переносимую волной, выделим мысленно некоторую площадку S, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Пусть в начальный момент времени (t=0), фронт плоской волны совпадает с этой площадкой. За времяt>>T(гдеT– период) фронт волны переместится на расстояние, тогда в колебательный процесс будет вовлечена масса вещества. Полная энергия массы, участвующей в колебательном движении, определяется по формуле:. Энергия, переносимая волной в среде за единицу времени через единичную площадку, называется интенсивностью волны. Обозначим её буквойIтогда:

,

где - скорость распространения волны.

Итак: , где- объёмная плотность энергии. Интенсивность волны измеряется в Вт/м².

Вектор , показывающий направление распространения волн и равный потоку энергии волн, проходящему через единичную площадку, перпендикулярную этому направлению, называют вектором Умова:.