4. Энергия колебательного движения.

В общем виде кинетическая энергия выражается формулой: . Для колебательного движения её можно вычислить, используя формулу:,

.

Потенциальную энергию колебательного движения найдём, исходя из общей формулы для потенциальной энергии при упругой деформации . Тогда.

Складывая кинетическую и потенциальную энергии, получим полную механическую энергию колеблющейся материальной точки:

,

т.е. в отсутствии сил трения полная механическая энергия системы не изменяется (величиныm, ω₀, A – являются постоянными).

Графическая зависимость кинетической, потенциальной и полной энергии колеблющейся системы от времени показана на рис.5.

5. Вынужденные колебания.

Свободное колебательное движение механической системы всегда является затухающим в силу наличия трения. Для того ,чтобы система совершала незатухающие колебания, необходимо восполнить извне потери энергии на трение. Для этого необходимо воздействовать на систему внешней периодически изменяющейся силой: . Внешняя сила, обеспечивающая незатухающие колебания, называется вынуждающей силой, а вынужденными колебаниями называются такие колебания, которые возникают в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону. Дифференциальное уравнение колебания будет иметь следующий вид:

, или ,

где ;x – смещение материальной точки в установившихся вынужденных колебаниях: , где

.

Из формулы смещения видно:

1. установившиеся вынужденные колебания, происходящие под воздействием гармонически изменяющейся вынуждающей силы, также являются гармоническими;

2. частота вынужденного колебания совпадает с частотой вынуждающей силы;

3. вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы.

Из выражения для амплитуды следует, что она прямопропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от β, ω₀, ω_В. Если ω₀ и β вполне определённые величины, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определённой частоте вынуждающей силы. Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колеблющегося тела называется резонансом. Происходящие при этом колебания – резонансными, а их частота ω_рез – резонансной частотой колебаний.

Резонансную круговую частоту можно найти, если найти максимум знаменателя в выражении для амплитуды: . Тогда, подставив это выражение в формулу для амплитуды вместо ω_В, получим: .

Графически зависимость амплитудыA вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис.6 (β₁>β₂>β₃). Степень нарастания амплитуды, или острота кривой резонанса, зависит от коэффициента β, чем он меньше тем острее резонанс. При β=0, ω_рез= ω₀, т.е. резонанс в системе без затухания наступает, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний.

Резонанс в одних случаях бывает полезным, т.к. при этом действием незначительной возбуждающей силы можно вызвать колебания с относительно большой амплитудой. Вредное действие резонанса связано с разрушениями, которые он может вызвать.

Отдельные органы человека имеют также собственную частоту. Если бы коэффициент затухания внутренних органов был невелик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешней вибрации или звуковых колебаний, могли бы привести к нежелательным явлениям, обусловленным повреждением этих органов. Однако, такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, т.к. β биологических систем является большим по величине. И тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний имеют место в биологических системах. В этом, очевидно, заключается одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибрации на организм человека. Например, резонансные колебания головы человека при частотах 8-27 Гц могут стать причиной уменьшения остроты зрения.