Математичні відношення

Для більш глибшого розуміння суті терміну відношеннярозглянемо декілька математичних понять. Припустимо ми маємо дві множини -D₁,D₂. Декартовим добутком цих двох множин (позначається якD₁хD₂) є множина всіх можливих пар (a,b) деаналежить множиніD₁,b-D₂ . Записується це так

D=D₁хD₂ ={(a,b) |a є D₁ ,b єD₂}

Приклад. НехайD₁ ={2,4} iD₂ ={1,3,5}. ТодіD₁хD₂ ={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)}.

Потужність декартового добутку 2-х множин (кількість елементів) дорівнює добутку потужностей цих множин. Якщо через nпозначити потужність множиниD, черезn₁ - потужність множиниD₁ , черезn₂ - потужність множиниD_{2 ,} тоді

n=n₁ ·n_{2 .}

Люба підмножина декартового добутку називається відношенням. Наприклад, підмножина {(2,1),(4,1)} множиниD задає відношенняR ={(2,1),(4,1)}.

Для визначення тих можливих пар, які належатимуть відношенню, можна задавати деякі умови відбору. Наприклад, відношенняR містить пари, другий елемент яких дорівнює 1, тодіR можна задати таким чином:

R = {(a,b) |a  D₁ ,b D₂ ib=1}

На основі тих же множин можна задати друге відношення S , в якому перший елемент в 2 рази більший другого. Отже

S = {(a,b) |a  D₁ ,b D₂ i a=2b}

Зауважимо, що в нашому прикладі є тільки одна пара а саме – (2,1). Отже

S= {(2,1)}.

Зауважимо також, що множини D₁іD₂є доменами відношеньRiS .

Поняття відношення легко розповсюдити на mдоменів. А саме декартовий добутокmдоменівD₁,D₂, … ,D_m визначається наступним чином

D₁xD₂x … xD_m ={(d₁,d₂, … ,d_m) |d₁D₁,d₂D₂, … ,d_mD_m}

Властивості відношень.

Відношення повинні задовольняти таким вимогам:

• Відношення має ім‘я, яке відрізняється від імен інших відношень (унікальність імені);

• Кожна клітинка відношення містить атомарне (неподільне) значення;

• Кожний атрибут має унікальне ім‘я;

• Значення атрибуту беруться з одного і того ж домену;

• Порядок розташування атрибутів не має ніякого значення;

• Кожний кортеж є унікальним, тобто дублікатів кортежів не повинно бути;

• Порядок розташування кортежів у відношенні не має значення.

Для ілюстрації змісту цих вимог розглянемо відношення АДРЕСНА_КНИГА. Оскільки кожна клітинка повинна містити тільки одне значення, то недопускається зберігання в одній і тій же клітинці двох номерів телефонів одного і того індивідуума. Іншими словами, відношення не можуть містити повторювальних груп. Про відношення, яке має таку властивість, говорять, що воно нормалізоване і знаходиться в 1-й нормальній формі (1 НФ).

Імена стовпчиків відповідають іменам атрибутів відношення. Значення атрибуту Телефон беруться з домену"Номери телефонів"– множини номерів телефонів м. Києва. Недопускається розташування в цьому рядку інших значень, наприклад, поштових індексів. Стовпчики можна міняти місцями при умові, що атрибути переміщаються разом з його значеннями. Таким чином, таблиця буде представляти те ж відношення, якщо атрибутТелефон розташувати після атрибутуАдреса.

Значна частина властивостей відношеньпоходить від властивостейматематичних відношень.

• Оскільки відношення є множинами, то порядок елементів не має значення. Отже, порядок кортежів у відношенні неістотний.

• У множині елементи не повторюються. Аналогічно, відношення не містить кортежів-дублікатів.

• Кожний елемент в любому кортежі декартового добутку множин приймає єдине значення. Аналогічно, кожна клітинка відношення містить єдине значення.