3.Двоїста задача лінійного програмування, правила її побудови. Пошук розв’язку двоїстої задачі.

Для будь-якої задачі лінійного програмування можна поставити у відповідність двоїсту задачу. Задача, до якої поставлено двоїсту, називається пряма задача.

Пара прямої та двоїстої задачі називається взаємоспряженими задачами.

Правила побудови двоїстої задачі:

• Якщо пряма задача на max, то двоїста задача на min і навпаки.

• Кількість невідомих двоїстої задачі рівна кількості основних обмежень прямої задачі. Кожному основному обмеженню прямої задачі відповідає певна змінна двоїстої.

• Кількість обмежень основних двоїстої задачі рівна кількості невідомих прямої задачі.

• Якщо змінна двоїстої задачі відповідає нерівності, то на цю змінну накладається відмова невід’ємності, якщо ж рівнянню, то така умова не накладається і це означає, що ця змінна може набувати як додатних, так і від’ємних значень.

• Якщо двоїста задача на max, то усі основні нерівності мають вид «», якщо задача на min, то – «».

• Якщо змінна прямої задачі () може набувати як додатних, так і від’ємних значень, то відповідне їй обмеження двоїстої є рівняння.

• Вільні члени основних обмежень прямої задачі стають коефіцієнтами цільової функції двоїстої задачі.

• Коефіцієнти цільової функції прямої задачі стають вільними членами в основних обмеженнях двоїстої задачі.

4.Транспортна задача лінійного програмування. Методи побудови опорних розв’язків транспортної задачі.

Транспортна задача — задача про оптимальний план перевезення продукту (- тів) із пунктів відправлення до пунктів споживання. Розробка і використання оптимальних схем вантажних потоків дозволяють знизити витрати на перевезення.

Опорний розв’язок ТЗ – це будь-який план перевезень (початковий розв’язок задач).

Метод північно-західного кута

Виконання починається з верхньої лівої клітини (Північно-західного кута) транспортної таблиці, тобто зі змінної .

Крок 1. Змінній присвоюється максимальне значення, що допускається обмеженнями на попит і пропозицію.

Крок 2. Викреслюється рядок (або стовпець) з повністю реалізованою пропозицією (з задоволеним попитом). Це означає, що в викресленою рядку (стовпці) ми не будемо присвоювати значення іншим змінним (крім змінної, визначеної на першому етапі). Якщо одночасно задовольняються попит і пропозиція викреслюється лише рядок або тільки стовпець.

Крок 3. Якщо не викреслено тільки один рядок або тільки один стовпець, процес зупиняється. В іншому випадку переходимо до клітини праворуч, якщо викреслять стовпець, або до клітини знизу, якщо викреслена рядок. Потім повертаємось до першого етапу.

Метод найменшої вартості

Спочатку по всій транспортній таблиці ведеться пошук клітини з найменшою вартістю. Потім змінній в цій клітині присвоюється найбільше значення, що допускається обмеженнями на попит і пропозицію. (Якщо таких змінних кілька, вибір довільний.) Далі викреслюється відповідний стовпець або рядок, і відповідним чином коректуються значення попиту і пропозицій. Якщо одночасно виконуються обмеження і щодо попиту, і щодо пропозиції, викреслюється або рядок, або стовпець (точно так само, як у методі північно-західного кута). Тоді проглядаються не викреслені клітини, і вибирається нова клітина з мінімальною вартістю. Описаний процес триває до тих пір, поки не залишиться лише один не викреслений рядок або стовпець.

Метод потенціалів

У методі потенціалів кожному рядку i і кожному стовпцю j транспортної таблиці ставляться у відповідність числа (потенціали) ui і vj. Для кожної базисної змінної xij, потенціали ui і vj задовольняють рівнянню:

Щоб знайти значення потенціалів з цієї системи рівнянь, потрібно присвоїти одному з них довільне значення (зазвичай вважають u1 = 0) і потім послідовно обчислювати значення інших потенціалів.

Далі, використовуючи знайдені значення потенціалів, для кожної не базисної змінної обчислюються величини ui + vj = cij.

Якщо всі ці числа є не додатними то опорний план є оптимальним і розв'язування на цьому завершується. В іншому випадку знаходиться найбільше додатне значення і відповідна йому змінна вводиться в базис. Для визначення змінної, що виводиться з базису будується послідовність:

де xij — змінна, що вводиться в базис, а всі інші змінні є базисними. Окрім цього в цій послідовності при переході на кожному етапі одна координата залишається незмінною і якщо при певному переході незмінною була перша координата, то на наступному незмінною буде друга. Якщо зображувати перехід між змінними на транспортній таблиці стрілками між відповідними клітинами це означає, що переходи можуть бути лише вертикальними чи горизонтальними, але не діагональними, і також після горизонтального переходу має йти вертикальний і навпаки.

Після побудови послідовності можна записати значення відповідних змінних і знайти мінімальне значення серед чисел, що стоять на непарних позиціях. Наступним кроком це число слід додати до всіх змінних, що стоять на парних позиціях і відняти від всіх змінних, що стоять на непарних. Змінна якій відповідало найменше число виводиться з базису.

В такий спосіб одержується новий опорний план і до нього можна знову застосувати ті ж дії.