ІАД / Лекція7

Етапи аналізу аналізу

• Виявлення наявності взаємозв'язку між ознаками; (діаграма розсіювання або кореляційне поле) Щоб попередньо визначити наявність такого зв'язку між x і y, наносять точки на графік і будують так зване кореляційне поле (діаграма розсіювання). По виду кореляційного поля можна судити про наявність кореляційного зв'язку.

• Визначення форми зв'язку; (лінійний зв’язок)

• Визначення сили (тісноти) і напрямку зв'язку. (коефіцієнт кореляції)

Порівняльна характеристика кор. і регр. аналізу

• кореляційний аналіз - зв'язок як синхронність (узгодженість)

• регресійний аналіз - зв'язок як залежність (вплив) , (причинно-наслідкові зв'язки).

Регресійний аналіз

Коефіцієнт кореляції може показувати, що 2 змінні зв’язані між собою, але не дає уявлення про те, яким чином вони зв’язані.

Отже, під регресійним аналізом розуміють дослідження закономірностей зв'язку між явищами (процесами), які залежать від багатьох, інколи невідомих, факторів.

Суть регресійного аналізу зводиться до встановлення рівняння регресії, тобто виду кривої між випадковими величинами (аргументами x і функцією y), оцінці тісноти зв'язків між ними, достовірності та адекватності результатів вимірювань.

У регресійному аналізі одна з ознак залежить від іншої.

• В регресійному аналізі перша (залежна) ознака називається результуюча, друга (незалежна) - факторна.

• Не завжди можна однозначно визначити, яка з ознак є незалежною, а яка - залежною. Часто зв'язок може розглядатися як двонаправлений.

Розрізняють однофакторні (парні) і багатофакторні регресійні залежності. Парна регресія при парній залежності може бути аппроксимирована прямою лінією, параболою, гіперболою, логарифмічною, степеневою функцією, поліномом і ін, двофакторне поле можна апроксимувати площиною, параболоїдом другого порядку, гіперболоїдом.

Параболоід – тип поверхні другого порядку в тривимірному просторі. Існує 2 типи: еліптичний та гіперболічний.

Лінія регресії

• обчислена за допомогою методу найменших квадратів пряма лінія називається лінією регресії. Вона характеризується тим, що сума квадратів відстаней від точок на діаграмі до цієї лінії мінімальна (у порівнянні з усіма можливими лініями).

• Лінія регресії дає найкраще наближений опис лінійної залежності між двома змінними.

Парна регресія

Отже, коефіцієнт кореляції може показувати, що 2 змінні зв’язані між собою, однак не дає відповіді на те, яким чином вони зв’язані. Розглянемо більш детально ті випадки, коли ми припускаємо, що одна змінна залежить від іншої.

Відмітимо, що не треба очікувати точного співвідношення між якимись двома економічноми показниками, за виключенням тих випадків, коли воно існує за визначенням. В статистичному аналізі факт неточності співвідношення признається шляхом включення в нього випадкового фактора, який описується випадковим (залишковим) членом.

Розглянемо найпростішу модель: Y =

де Y - результуюча ознака (залежна змінна), х – факторна ознака (пояснююча, незалежна), і - числові параметри рівняння, -випадковий член.

• Коефіцієнт в рівнянні регресії називається коефіцієнтом регресії.

Рис. Істинна залежність між та

Якби співвідношення між та було б точним, то відповідні значення були б представлені точками на прямій. Наявність випадкового члена призводить до того, що насправді значення є інакшим. В першому і четвертому випадку випадковий член є додатній, і від’ємний в двох інших. (співідношення між та є спрощеним, бо на практиці є інші фактори, які впливають на ).

На практиці, з графіка нам відомі точки а фактичні значення і невідомі, так як і фактичні значення випадкового члену. Задача регресійного аналізу полягає у отриманні оцінок і , і як наслідок, в визначенні розташування прямої по точкам .

Рис. Оцінена по точкам спостереження лінія регресії.

О цінене рівняння записується так: (1). - оцінені точки.

Залишки визначаються за формулою → , очевидно, що лінію регресії треба побудувати так, що залишки були б мінімальні.

Сенс коефіцієнта регресії

• У загальному випадку коефіцієнт регресії показує, як у середньому зміниться результативна ознака (Y), якщо факторний ознака (X) збільшиться на одиницю.

Приклад інтерпретації коефіцієнта регресії. Аналізуються наступні ознаки: кількість робочих на підприємстві (Х) – факторна ознака та об’єм річного виробництва (У)- результативна ознака.

• У рівнянні Y = 87610 + 2984 X

коефіцієнт регресії дорівнює +2984. Що це означає?

• У даному випадку сенс коефіцієнта регресії полягає в тому, що збільшення числа робочих на 1 чол. призводить в середньому до збільшення обсягу річного виробництва на 2984 грн. (сьогодні обсяг річного виробництва 87610 грн). Якби коефіцієнт біля Х був би від’ємний, то це говорило б про змешення ознаки.

Властивості коефіцієнта регресії

• Коефіцієнт регресії приймає будь-які значення.

• Коефіцієнт регресії не симетричний, тобто змінюється, якщо X і Y поміняти місцями.

• Одиницею виміру коефіцієнта регресії є відношення одиниці виміру Y до одиниці виміру X

([Y] / [X]).

• Коефіцієнт регресії змінюється при зміні одиниць виміру X і Y.

Приклад одиниці виміру коефіцієнта регресії

• У рівнянні Y = 87610 + 2984 X

коефіцієнт регресії дорівнює 2984. В яких одиницях він вимірюється?

• Оскільки результативний ознака Y вимірюється в рублях, а факторний ознака X в кількості робітників (чол.), то коефіцієнт регресії вимірюється в грн на людину (грн. / людина.)

Порівняння коефіцієнтів кореляції і регресії

Коефіцієнт кореляції

• Приймає значення в діапазоні від -1 до +1

• Безрозмірна величина

• Показує силу зв'язку між ознаками

• Знак коефіцієнта говорить про напрямок зв'язку

Коефіцієнт регресії

• Може приймати будь-які значення

• Прив'язаний до одиниць виміру обох ознак

• Показує структуру зв'язку між ознаками

• Знак коефіцієнта говорить про напрямок зв'язку

Отже, Cуть регресійного аналізу полягає у побудові математичної моделі і визначенні її статисточної надійності.