Метод.вказів.до роб. 4,5

Ранжируванні змінні. Це особливий клас змінних, який у МathСad найчастіше заміняє керуючі структури, що називаються циклами. Ці змінні мають ряд фіксованих значень, з визначеним кроком змінюваних від початкового значення до кінцевого. Ранжируванні змінні характеризуються ім'ям і індексом кожного свого елемента. Для створення ранжируванної змінної використовується запис <ім'я>:=Хн,Хн+крок..Хк. Такий запис означає, що змінна змінюється в діапазоні (символ .. [;]) від Х початкового до Х кінцевого значення з заданим кроком. За замовчуванням (без указівки числового значення) крок приймається рівним 1. Ранжируванні змінні широко використовуються для представлення числових значень функцій у вигляді таблиць, а також для побудови їхніх графіків. Будь-яке вираження з ранжируванними змінними після знака рівності ініціює таблицю виведення.

Індексовані змінні. Кожен елемент матриці характеризується індексованою змінною, і його положення в матриці позначається двома індексами: один указує номер рядка, інший – номер стовпця. Нагадаємо, що елементи вектора – індексовані змінні з одним індексом. Для набору індексованої змінної насамперед треба ввести ім'я матриці (вектора), а потім перейти до набору індексів натисканням клавіші, що вводить символ [. Спочатку вказується індекс рядка, а потім через кому індекс стовпця. Нижня границя індексів задається значенням системної змінної ORIGIN. Звичайно її значення задають рівним 0 (за замовчуванням) чи 1.

Найпростіші прийоми роботи. У найпростішому випадку робота з МathСad зводиться до підготовки у вікні редагування завдання на обчислення і до установки форматів для їхніх результатів. Для цього використовуються різні прийоми підготовки блоків, що визначаються використовуваним типом редактора. МathСad інтегрує три редактори: формульний, текстовий і графічний. За допомогою цих редакторів формуються відповідно обчислювальний блок, текстовий блок з коментарями і блоки з графікою.

Формульний редактор. Для запуску формульного редактора досить встановити курсор миші в будь-якім вільному місці вікна редагування і клацнути лівою клавішею. З'явиться візир у вигляді маленького червоного хрестика. Його можна переміщувати клавішами переміщення курсору. Візир вказує місце, з якого можна починати набір формул – обчислювальних блоків. В області формул візир перетворюється в синій куточок, що вказує напрямок і місце введення.

Текстовий редактор. Текстовий редактор дозволяє задавати текстові коментарі. Вони роблять документ із формулами і графіками більш зрозумілими. Для відкриття текстового редактора необхідно ввести команду Insert – Text Region або символ “ (подвійні лапки). Чорний прямокутник, що з'явився, із двома чорними квадратиками позначає створений текстовий регіон, у який можна почати вводити англомовний текст. Для введення тексту на російській чи українській мові попередньо необхідно перевести клавіатуру на потрібну мову й встановити зі списку перемикача Font будь-який набір символів з розширенням Cyr. Текст редагується загальноприйнятими засобами.

11

Створення графіків. Для створення графіків у МathСad мається програмний графічний процесор. Основна увага при його розробці була приділена забезпеченню простоти завдання графіків і їхніх модифікацій за допомогою відповідних опцій.

Більшість параметрів графічного процесора, необхідних для побудови графіків, за замовчуванням задається автоматично. Тому для побудови того чи іншого виду графіка досить задати його тип. Для побудови графіків використовуються шаблони. Їхній перелік міститься в команді Graph (Графіка) меню Insert (Вставка), а також на набірній палітрі Graph. Вікно завдання форматів графіків з'являється, якщо виділити графік і, установивши в його області курсор миші, двічі швидко клацнути її лівою клавішею. Для цього також можна використовувати позицію Graph у підменю Format. Дана команда виводить на екран вікно з опціями формату графіків 2D - типу. Діалогове вікно форматування має панельний перемикач на чотири позиції: X- Y Axes (Х-У Осі) – керування опціями форматування осей графіка; Traces (Слід) – керування параметрами ліній графіків; Labels (Мітки) – керування написами біля осей; Defaults – завдання опцій за замовчуванням.

3. Робота з матрицями і векторами в MathCad

Введення матриць і векторів. Як відомо, матриця є заданим своїм ім'ям об'єктом у виді масиву даних. МathСad використовує одномірні масиви – вектори і двовимірні – власне матриці. У МathСad введення векторів виконується так само, як і введення матриць. Матриця характеризується числом рядків (Rows) і числом стовпців (Columns) Нагадаємо, що вектор має один з параметрів розмірності, рівний 1. Таким чином, число елементів матриці чи її розмірність дорівнює [Rows х Columns]. Елементами матриць можуть бути числа, константи, змінні і навіть математичні вирази. Завдання матриці полягає у використанні команди Matrix меню Insert або відповідної піктограми палітри Matrix. У поточному вікні з'являється діалогове вікно, що дозволяє задати розмірність вектора чи матриці. Натискання клавіші Enter у вікні приводить до виведення шаблона матриці чи вектора

Шаблон містить дужки, що його обрамляють, і темні маленькі прямокутники (осередки), що позначають місця введення значень для елементів вектора чи матриці. За допомогою клавіш переміщення курсору або клавіші Tab можна пробігтися по всіх осередках і ввести всі елементи вектора чи матриці.

Векторні і матричні оператори. Для роботи з векторами і матрицями МathСad має ряд операторів і функцій. Операції з матрицями в МathСad позначаються так, як це прийнято в математиці (операція скалярного добутку позначається символом *, векторного - ×). На палітрі Matrix розташовуються кнопки, призначені для введення матриць, визначника (детермінанта) матриці, покомпонентного множення двох векторів чи матриць однакового розміру (операція векторізації), скалярного добутку двох векторів, векторного добутку двох векторів, визначення суми компонент вектора, вибору окремого стовпця матриці, транспонування матриці, створення матриці, кожен елемент якої містить колірне значення одного пікселя растрового зображення.

Під незвичайним для математичної літератури поняттям «векторізація» мається на увазі одночасне проведення деякої скалярної математичної операції над всіма

12

елементами вектора чи матриці, позначеними знаками векторізації (→). Тобто векторізація дозволяє застосувати скалярні оператори і функції до масивів. Нерідко це спрощує запис математичних алгоритмів, особливо для забезпечення рівнобіжних обчислень.

Існує також ряд вбудованих векторних і матричних функцій. У таблиці наведені найбільше часто використовувані.

Теоретичні відомості до виконання практичного заняття №4

1. Формування моделей на основі методу планування експерименту

У основі активного експерименту лежить теорія планування експерименту. Застосування методу планування експерименту при проведенні досліджень дозволяє вибрати стратегію постановки дослідів за деякою заздалегідь складеною схемою, що має оптимальні властивості і що дозволяє отримати залежності між параметрами об’єкту і його показниками в простій математичній формі: у вигляді полінома

де b0, bi, bij, bii - вибіркові коефіцієнти регресії, які можна отримати, користуючись результатами експерименту; у - функція відгуку (результат експерименту – показник об’єкту, що досліджується;

хi, xj, - незалежні змінні (фактори); n - кількість факторів.

Метод планування експерименту має великі переваги, які забезпечують наступне:

14

1)високу ефективність, тобто для отримання необхідної інформації ставиться мінімальне число дослідів;

2)одночасне дослідження впливу декількох змінних параметрів об’єкту на його показники;

3)за наявності випадкових похибок можна поставити досліди так, щоб дисперсія в оцінці коефіцієнтів регресії була щонайменшою.

В цілому формалізовані прийоми, розроблені у рамках математичної теорії планування експерименту дозволяють вибрати оптимальну стратегію дослідження, логічну впорядкованість дій, що призводять до значного скорочення числа експериментів і спрощення обробки їх результатів.

2.Алгоритм підготовки і проведення експериментальних досліджень

1)Визначається функція (чи функції) відгуку у, відносно якої будуватиметься

математична модель (ММ) вигляду у = f(хі). Зазвичай, це вихідні показники пристрою: споживана номінальна потужність двигуна, номінальний струм, номінальне ковзання, номінальний ККД, споживана пускова потужність, пусковий струм. Ці показники повинні легко визначатися після проведення кожного досліду.

2)Встановлюються фактори xi, які входитимуть в ММ як незалежні змінні (аргументи). Зазвичай це параметри елементів або вхідні змінні (наприклад, момент опору двигуна, напруга і частота живлення і т.п.). Ці фактори мають бути керованими в ході експерименту. Від числа вибраних факторів залежить загальне число дослідів.

3)Обирається тип плану факторного експерименту.

Факторний експеримент полягає в тому, що при його проведенні фактори варіюються одночасно за певним планом. Вибір плану залежить від бажаного порядку ММ, що створюється, від числа рівнів варіювання факторів і кількості паралельних дослідів.

Рівнем фактора називають певне його значення, яке буде фіксувався при проведенні експерименту.

Досліди, проведені за одних і тих же умов (тобто в одній і тій же точці факторного простору), називаються паралельними. Факторний простір - це область зміни факторів при експерименті.

Найчастіше застосовують повний факторний експеримент (ПФЕ) першого порядку типу 2n. ПФЕ - експеримент, в якому реалізуються усі можливі поєднання рівнів факторів. Цифра «2» означає, що фактори при експерименті набувають тільки два значення – верхнього (max) і нижнього (min) рівнів. Ступінь «n» - кількість факторів. Число можливих в ПФЕ поєднань факторів визначає кількість різних дослідів N = 2n. Наприклад, для 3-х факторів N = 23 = 8. Загальна кількість дослідів при ПФЕ розраховується з урахуванням кількості паралельних дослідів.

Якщо експеримент проводиться при рівній кількості паралельних дослідів m в кожній точці факторного простору, то загальна кількість дослідів при ПФЭ дорівнює Nm. Наприклад, для трьох чинників і двох паралельних дослідів загальне число дослідів складе 23 2 = 16.

4) Визначаються експериментальні значення рівнів і інтервалів варіювання факторів в натуральних одиницях виміру. Для цього на основі апріорної інформації і з 15

урахуванням можливостей експериментальної установки встановлюються значення

Xі min та Xi max; де і = 1, 2,.., п.

Розраховуються нульові рівні кожного і-го фактора

Xi0 = (Xi max + Xi min )/ 2 ;

і інтервали їх варіювання

Xi = Xi min − Xi0 = X i max − Xi0 ,

5) Здійснюється кодування факторів за формулою

xi = (Xi − Xi0 )/ Xi ,

де Xi - значення і-го чинника в натуральних (фактичних) одиницях; xі - значення і-го чинника в кодованій формі.

Фактори в кодованій (безрозмірній) формі при ПФЕ типу 2n можуть приймати наступні значення:

(Xi max − Xi0 )/ Xi = +1; (Xi min − Xi0 )/ Xi = −1.

6) Побудова матриці планування і робочої матриці експерименту. План, що містить усі комбінації факторів або їх частину в кодованій формі, називається матрицею планування. Матриця планування для ПФЕ типу 23 наведена у таблиці 1.

Табл. 1.

Робоча матриця - це матриця, в якій усі кодовані значення факторів замінюються їх натуральними значеннями. Відповідно до записів в робочій матриці проводиться експеримент. У таблиці 2 представлена робоча матриця, що отримана

на основі таблиці 1.

Табл. 2.

7) Проводиться експеримент з паралельними дослідами і результати Yk записуються в робочу матрицю (див. таблицю 2).

3. Алгоритм розрахунку і аналізу ММ за планом ПФЕ типу 23

Після проведення експерименту заповнюють наступну таблицю (таблиця 3). Табл. 3.

Матриця планування і результати експериментів

Тут введені нові змінні, необхідні для розрахунку: x0 - для визначення вільного члена рівняння регресії; а також комбінації факторів xixj, якщо передбачається, що модель буде нелінійною.

1) Вибір форми рівняння регресії.

де Nm - загальне число дослідів; N - число дослідів (рядків матриці); і = 1, 2,.., N - даний рядок матриці планування, k = 1, 2, …, m - даний паралельний дослід. Записується рівняння (1) або (2) з розрахованими значеннями коефіцієнтів. Наприклад, рівняння виду (2) для двох факторів може мати вигляд

Y = 10,5 − 8,7x1 + 5,3x2 − 2,3x1 x2 .

Після цього переходимо до статистичного аналізу отриманого рівняння.

17

tТ (q, f0 ) - табличне значення критерію Стьюдента (див. додаток 2);

f0 = N(m −1) - число ступенів свободи дисперсії відтворюваності. Якщо умова (9)

виконується, відповідний коефіцієнт вважається значущим. 2-й спосіб - за довірчим інтервалом

bi = ±tT Sbi .

Перевіряється виконання умови

bi > bi .

Якщо умова виконується, коефіцієнт вважається значущим.

Незначущі коефіцієнти виключаються з розгляду і записується рівняння регресії тільки зі значущими коефіцієнтами. До виключення незначущих коефіцієнтів належить відноситися обережно, щоб не втратити мету побудови математичного опису. Тому при необхідності треба збільшити інтервал варіювання відповідних факторів і повторити експеримент.

7) Розрахунок дисперсії адекватності.

де l - кількість членів рівняння регресії, що залишилися після оцінки значущості коефіцієнтів; yˆ - розрахункове (передбачене) значення змінної стану по отриманому рівнянню регресії.

8) Перевірка адекватності моделі.

Здійснюється за критерієм Фішера. Розрахункове значення критерію Фішера визначається за формулою:

виконується, то отриманий адекватний математичний опис (рівняння регресії адекватно описує процес, що досліджується). Надалі модель переводять в натуральні одиниці, використовують для оптимізації об'єкту, прогнозування його властивостей або поведінки системи в різних умовах. Якщо умова не виконується, то необхідно зменшити інтервал варіювання параметрів, або включити новий чинник, або перейти до нелінійної моделі.

В ході виконання розрахунку і аналізу результатів експерименту рекомендується заповнювати наступну таблицю.

19

4. Обробка результатів ПФЕ типу 2n з паралельними дослідами в одній точці

факторного простору

Часто експериментаторові відома заздалегідь хороша відтворюваність дослідів на об'єкті дослідження, що дозволяє йому не проводити перевірку однорідності дисперсій в точках факторного простору, вважаючи здійснимість цієї умови фактором встановленим. Така апріорна інформація різко скорочує кількість дослідів, оскільки не потрібно повторювати досліди для кожного рядку матриці планування.

В цьому випадку для розрахунку помилки досліду досить поставити декілька паралельних дослідів в одній з точок факторного простору. Зазвичай такою точкою приймають центр плану, де реалізується 3.. 4 досліди і по них розраховується S02

згідно з формулою

де y0k - значення змінної стану в центрі плану; у0 - середнє значення змінної стану в центрі плану; N0 – кількість дослідів в центрі плану.

Крім того, з вищеописаного алгоритму розрахунку рівняння регресії виключаються пункти 3), 4) і розрахунок числа ступенів свободи дисперсії відтворюваності здійснюється за формулою f0 = N0 −1. У іншому алгоритм

залишається тим самим.

20