Метод.вказів.до роб. 4,5

УДК 621.317

Методологія сучасних наукових досліджень: Методичні вказівки до виконання практичних занять та самостійної роботи з теми «Обробка даних експериментальних досліджень за допомогою комп’ютерних технологій» для студентів усіх форм навчання напряму 6.050702 «Електромеханіка» / Упор. Т.Я. Біла, Т.І. Кулік, В.В. Стаценко. - К.: КНУТД, 2011. - 34 c. Укр. мовою

Упорядники: Т.Я. Біла, к.т.н., доцент, Т.І. Кулік, к.т.н., доцент,

В.В.Стаценко, к.т.н., доцент.

Відповідальний за випуск завідувач кафедри електромеханічних систем д.т.н., професор Бурмістенков О.П.

Затверджено на засіданні кафедри електромеханічних систем Протокол № 8 від 4.03.2011 р.

ПЕРЕДМОВА

Всі існуючі методи пізнання розділяють на загальнометодологічні і часткові. Останні мають обмежену сферу дії, використовуються не у всіх областях науки (наприклад, спостереження і експеримент не використовуються в чистій математиці), діють на окремих ступенях пізнання. Загальнометодологічні методи можуть бути діалектичними чи метафізичними, матеріалістичними чи ідеалістичними. Вони визначають позицію дослідника, слугують за основу інтерпретації об’єкта і суб’єкта пізнання, діють на всіх етапах дослідження у всіх галузях науки.

Внаукових дослідженнях переважно виділяють два рівня пізнання:

•емпіричний, на якому відбувається накопичення фактів;

•теоретичний, на якому досягається синтез знань (у формі наукової теорії). Згідно з цим методи пізнання розподіляються на дві групи:

1)методи емпіричного дослідження;

2)методи теоретичного дослідження.

До методів емпіричного дослідження належать спостереження, порівняння, вимірювання і експеримент. Спостереження – це систематичне цілеспрямоване сприйняття об’єкта. Щоб бути плідним, метод повинен відповідати цілому ряду вимог: цілеспрямованості, планомірності ведення спостережень, систематичності. Під час спостереження отримують первинну інформацію. Порівняння – встановлення збіжності і розбіжності предметів та явищ, відшукання спільного. Порівняння може бути якісним і кількісним. Кількісне порівняння об’єкта з еталоном називається вимірюванням. Вимірювання – операція визначення числового значення деякої величини за допомогою її одиниці. Вимірювання передбачає наявність об’єкта вимірювання, одиниці вимірювання (еталону), вимірювальних приладів, методу вимірювання, проведення спостережень. Вимірювання дають точні кількісні дані про навколишню дійсність.

Експеримент – це метод вивчення об’єкта, коли дослідник активно і цілеспрямовано діє на нього створенням штучних (або природних) умов для виявлення відповідних властивостей. Експеримент передбачає використання спостереження, порівняння і вимірювання. Переваги експерименту: можливість вивчення явища в чистому вигляді (за рахунок усунення побічних факторів); можливість досліджувати об’єкт в екстремальних умовах; повторюваність.

Метою практичних занять, які наведені в методичних вказівках, є отримання студентами магістрами практичних навичок формування математичного опису технічних об’єктів експериментально-статистичними методами за допомогою засобів програми Mathcad.

3

Практичне заняття №3

Тема «Статистична обробка і аналіз даних експериментальних досліджень»

Послідовність виконання

1)Відповідно до варіанту сформувати масиви вихідних даних. Вихідні дані знаходяться на електронному носії (файл lab3_data.xls).

2)Для заданих даних, розрахувати основні статистичні параметри (під час виконання даного пункту можна використати будь-який із стовпчиків y):

a.Визначити мінімальне і максимальне значення.

b.Побудувати варіаційний ряд.

c.Визначити середнє значення.

d.Розрахувати середньоквадратичне відхилення.

e.Розрахувати вибіркову дисперсію.

3)Виконати лінійну інтерполяцію даних, отриманих в ході експерименту. Побудувати графік, і показати на ньому експериментальні точки і інтерполяційну криву. (*) - аргументи функції знаходяться у стовпчику x, значення – у будь-якому із стовпчиків y.

4)Виконати інтерполяцію кубічними сплайнами. Побудувати графік, і показати на ньому експериментальні точки і інтерполяційну криву. (*)

5)Виконати лінійну апроксимацію експериментальних даних. Побудувати графік, і показати на ньому експериментальні точки і апроксимуючу криву. (*)

6)Виконати апроксимацію за допомогою експоненціальної функції. Побудувати графік, і показати на ньому експериментальні точки і апроксимуючу криву. (*)

7)Виконати апроксимацію за допомогою рівняння регресії n-го порядку. Порядок рівняння обирається виходячи з розташування експериментальних точок. Необхідно, щоб регресійна крива максимально точно повторювала вид процесу, що досліджується. Рекомендується вибирати n в діапазоні від 3 до 9.

8)Розрахувати коефіцієнти для лінійної комбінації функцій, що описують процес, який досліджується. Заздалегідь необхідно обрати види функціональних залежностей, які повинні максимально точно відповідати характеру процесу.

9)Розрахувати коефіцієнт взаємної кореляції між процесами, що досліджуються (вихідні дані знаходяться у стовпчиках y).

Примітка. Вихідні дані знаходяться у таблиці 1. Стовпчик х є однаковим для всіх варіантів. Стовпчики y обираються відповідно до варіанту, номер варіанту необхідно підставити після літери y, наприклад, для третього варіанта вихідні дані містяться у стовпчиках: x, y3_1, y3_2.

4

Практичне заняття №4

Тема «Побудова математичної моделі за результатами активного експерименту»

Завдання. Виконати обробку результатів експериментальних досліджень електромеханічної системи (по варіантах) з метою отримання адекватного математичного опису.

Послідовність виконання

1)скласти робочу матрицю експерименту і матрицю планування;

2)визначити помилки окремих дослідів і оцінити їх однорідність;

3)обчислити дисперсію відтворення (помилку усього експерименту) і коефіцієнти рівняння регресії;

4)перевірити значущість цих коефіцієнтів і адекватність отриманого рівняння регресії;

5)виконати перетворення рівняння регресії за формулами переходу до іменованих (фактичних) величин досліджуваних факторів. У разі отримання неадекватного рівняння регресії перехід до фактичних величин не виконувати.

Вихідні дані наведено у додатку 4.

Xi0 - фактичне значення і-го фактора на нульовому рівні; інтервал варіювання

і-го фактора задано у % від нульового рівня (± Xi / Xi0 ); експеримент проведений за

планом ПФЕ типу 23 (див. таблицю 1); рівень значущості прийняти рівним 0,05; Yuk - значення вимірюваної величини для k-го спостереження u-го досліду; k = 1,2 ... m - число паралельних спостережень в u-му досліді;

u = 1,2 ... N - кількість дослідів (рядків матриці планування) (N=8).

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Загальна характеристика експериментально-статистичного моделювання

Технічні об’єкти (ТО) є складними стохастичними системами. Якщо скористатися елементарною моделлю довільної системи у вигляді функціонального перетворювача з векторами параметрів на вході і виході відповідно Х і У, то найпростіша математична модель системи запишеться як У=А{Х}, математичне моделювання зведеться до відшукання конкретного вигляду оператора перетворення А. враховуючи, що як складна стохастична система ТО матиме і детерміновану і стохастичну складові, побудова моделі ТО буде неможливою без оброблення інформації про аналогічні технічні об’єкти, результатів технологічних експериментів, знання загальних принципів і закономірностей функціонування ТО.

Статистичні, або експериментально-статистичні, моделі отримують статистичним обробленням експериментальних даних, зібраних на досліджуваному об’єкті. Структура статистичної моделі вибирається вельми довільно. З метою спрощення застосовуваного математичного апарату статистична модель часто набуває форми полінома, в якому детерміновані фактори виступають у ролі змінних

5

x1…xn, а вплив стохастичних факторів схований у коефіцієнтах полінома. Відповідність моделі об’єктові обмежується виключно кількісним аспектом, область застосування – найближчим довкіллям точок, в яких проводилися спостереження. Побудова таких моделей не є переважно надто довготривалою і трудомісткою.

Експериментальні методи побудови моделей об’єктів застосовуються тоді, коли не вистачає знань про алгоритми функціонування реального об’єкта або коли розроблення аналітичних чи алгоритмічних моделей неможливе чи недоцільне внаслідок їх складності. Експериментальні моделі не такі універсальні, як теоретичні, проте простіші за своєю структурою і дозволяють застосовувати однотипний математичний апарат.

Способи проведення експериментальних досліджень. При експериментальних дослідженнях можна організувати проведення експерименту двома принципово різними способами. Перший, простіший спосіб, полягає в тому, що дослідник дає можливість деяким умовам, в яких протікає процес, довільним чином змінюватися, фіксує ці умови і відповідний їм результат. Експеримент, організований таким чином, називають пасивним. Другий спосіб полягає в тому, що експериментатор змінює умови за спеціально розробленою програмою і фіксує тільки ті результати, які отримані за цих заздалегідь передбачених умов. Експеримент, організований за другою схемою, називається активним. Таким чином, експериментальне моделювання базується на активному (спеціально спланованому і проведеному) або пасивному (спостереженні за наявним процесом без втручання в його перебіг) експерименті і подальшому статистичному обробленні результатів.

Методи статистичного аналізу Метод найгіршого випадку - використовується для оцінки впливу змінювань

зовнішніх параметрів на розкид вихідних, оскільки правильне функціонування об'єкту, що проектується, повинне забезпечуватися при будь-яких значеннях зовнішніх параметрів усередині заданих діапазонів. Як початкові дані вказуються

максимально можливі відхилення qi елементів вектора зовнішніх параметрів Q від номінальних значень. Ця інформація завжди є в технічному завданні (ТЗ) на проектування.

Найгірший випадок по і-му вихідному параметру yi відповідає максимальним відхиленням усіх елементів вектора Q від номінальних значень Qном у бік погіршення вихідного параметра yi з точки зору вимог ТЗ. Умови працездатності по вихідному параметру, вказані в ТЗ, представляються у вигляді yi<TTi або yi>ТТi, де ТТi - технічна вимога на параметр. Отже, передусім, необхідно визначити напрям

відхилення qi від номінального значення, тобто знак qi для кожного yi з урахуванням його ТТi. Завдання зводиться до аналізу чутливості вихідного параметра yi до зміни зовнішнього параметра qi і визначенню знаку коефіцієнта чутливості sign(aij). Зовнішні параметри qi для найгіршого випадку розраховуються

6

по формулі q jН С = q jННО ± sign(aij ) q j , де плюс відповідає умові yi<ТТi, мінус -

yi>ТТi.

У загальному випадку для n вихідних і l зовнішніх параметрів визначається

матриця чутливості А з елементами aij = yi / qj . Спеціальні вимоги на точність обчислення елементів aij не накладаються (важливо визначити знаки aij), тому для визначення матриці використовується метод приростів. Для розрахунку кожного вихідного параметра в найгіршому випадку yiНС необхідно виконати один варіант аналізу, загальну кількість варіантів аналізу (n+l+1).

Імовірнісні методи - використовуються для оцінки впливу випадкового розкиду значень внутрішніх параметрів на розкид вихідних параметрів. Початковими даними для них служать умови працездатності за усіма вихідними параметрами Y і закони розподілу вірогідності внутрішніх параметрів X, представлені у будь-якому вигляді: аналітичному, гістограм, таблиць результатів вимірів параметрів. Статистичні зв'язки внутрішніх параметрів між собою задаються у вигляді коефіцієнтів кореляцій, обчислених на підставі результатів виміру цих параметрів. Для отримання таких даних виконуються експериментальні виміри для великої кількості комплектуючих виробів і розробляються відповідні програми статистичної обробки отриманих результатів. Найбільшого поширення набули імовірнісні методи статистичного аналізу - аналітичний та чисельний, заснований на застосуванні методу Монте-Карло (метод статистичних випробувань).

Закони розподілу параметрів уi можна характеризувати функціями розподілу Fi(Yi), рівними вірогідності того, що уi виявиться менше деякої величини Yi. Вірогідність придатності по кожному параметру уi дорівнює Pi(yi>TTi)=1 - Fi(TTi) або Pi(yi<TTi)=Fi(TTi) залежно від умов працездатності.

Аналітичний метод статистичного аналізу характеризується тим, що за допомогою методу моментів знаходиться апроксимація функції Fi(Yi). Цей метод має порівняно невисоку точність і надмірну трудомісткість при великій кількості внутрішніх параметрів.

Метод Монте-Карло - один з найбільш ефективних чисельних методів статистичного аналізу, що добре враховує імовірнісну природу розкиду випадкових значень вихідних характеристик. Математичне моделювання по цьому методу повністю передає суть і характер натурних експериментів і в практичній постановці зводиться до багатократного "розігрування" (згідно зі встановленими імовірнісними розподілами) випадкових значень хi і визначенню для кожного випадкового їх набору відповідних значень yi. Після завершення необхідного числа випробувань NТР статистична обробка послідовностей випадкових значень yi дає необхідну інформацію про розподіл значень вихідних показників і параметри цього розподілу. В результаті по кожному вихідному показнику можна набути його номінального значення (при нульових допусках) yjНОМ, математичне очікування, яке за законом великих чисел може бути прийняте рівним середньому арифметичному набутих

щільності розподілу вірогідності WN значень yi, побудований на цьому діапазоні (гістограму), вірогідність попадання цих значень в задані межі та ін. Як вихідні параметри дослідження можуть бути обрані будь-які показники об'єкту, що дають інформацію про його функціонування.

Сучасні прикладні програми для персональних комп'ютерів дозволяють моделювати випадкові величини, розподілені за теоретичними законами. Точність методу Монте-Карло багато в чому залежить від заданої кількості випробувань N. Якщо, наприклад, задати похибку оцінки математичного очікування та СКВ в межах 0,01..0,001% з довірчою вірогідністю 0,9..0,95, то буде потрібно велике число випробувань (до 108). Проте в практичних задачах часто виявляються прийнятними погрішності оцінок математичного очікування і СКО в межах 10..24% з довірчою вірогідністю 0,9 .0,95, що забезпечується пій N=50…200.

Кореляційний аналіз – це розділ математичної статистики, який розглядає методи вивчення взаємозалежності між досліджуваними ознаками. Перша основна задача визначення взаємозв’язку полягає у визначенні на основі спостереження над досліджуваними змінними того, як змінювалася би функція зв’язку при зміні одного з аргументів при решті аргументів незмінних в умовах, коли реально ця решта факторів також не лишається абсолютно постійною внаслідок коливань неконтрольованих і некерованих факторів й своєю зміною впливає на досліджувану залежність, що є характерним для стохастичних процесів. Друга задача – це визначення міри спотворюючого впливу інших факторів на залежність, що нас цікавить.

Кореляційний аналіз дає змогу визначити форму та силу зв’язку між параметрами ТО при статистичній залежності між ними, коли кожному значенню одного параметра відповідає множина значень іншого.

Регресійний аналіз (або теорія регресії) дозволяє визначити теоретичну лінію регресії, тобто здійснити вибір типу регресійної кривої і розрахунок її параметрів, якщо між параметрами існує стохастична або кореляційна залежність. Сила зв’язку цих параметрів визначається коефіцієнтом кореляції, в той час як дослідження і оцінка математичного рівняння цієї залежності становить задачу регресійного аналізу. Інколи регресійний аналіз визначають просто як кількісну оцінку зв’язку між У та Х у вигляді лінії регресії. Цей процес називається вирівнюванням емпіричної лінії регресії.

Отримане під час регресійного аналізу рівняння являтиме собою експериментально-статистичну модель досліджуваного процесу, яка дозволить здійснити оптимізацію процесу в заданому діапазоні значень аргументу Х, прогнозувати значення У в цьому діапазоні та його найближчому довкіллі.

Вибір методу побудови моделі повинен враховувати особливості системи функціональних зв'язків, характер розподілу випадкових значень хi, а також вимоги до об'єму інформації про вихідні показники уi. Для завдань імовірнісного аналізу електромеханічних пристроїв уj = fj(хi) представляється в загальному вигляді складними і нелінійними рівняннями, для яких не може бути гарантована явна вираженість і диференційованість. Вхідні параметри є, як правило, безперервними у межах поля допуску випадковими величинами, а імовірнісні закони їх розподілу

8

можуть бути в принципі різні. Для вихідних показників зазвичай вимагається повна статистична характеристика на основі методів, що використовуються в теорії вірогідності.

Важливо відмітити, що методи статистичного експерименту застосовні для дослідження як стохастичних, так і детермінованих систем.

Теоретичні відомості до виконання практичного заняття №3

1. Моделювання результатів експерименту їх статистичними

характеристиками

Найчастіше статистичними мірами представлення центра даних слугують середнє арифметичне, серединне значення або медіана, мода і середнє геометричне значення. Переважно як міра представлення центра даних використовується середнє арифметичне значення або математичне очікування. Ступінь згрупованості даних вибірки навколо центра характеризують статистичними мірами розсіювання, серед яких найчастіше використовують розмах даних, їх середнє квадратичне, або стандартне, відхилення та його квадрат, що називається дисперсією.

Статистичне дослідження кореляції зводиться до встановлення характеру зв’язку між параметрами процесу, визначення її форми, спрямованості та щільності. Кореляцію вважають простою, якщо вона базується на зв’язку двох випадкових величин – параметрів ТО, і множинною, якщо спостерігається взаємозв’язок декількох параметрів. Силу зв’язку у кількісному відношенні характеризують величини теоретичного та емпіричного кореляційних відношень, а при лінійній формі зв’язку – коефіцієнт кореляції. Перевірка коефіцієнта кореляції на значимість виконується за t- розподілом Стьюдента.

Програма MathCad дає можливість безпосереднього обчислення статистичних характеристик ряду вимірювань за умови представлення його у вигляді векторів та матриць.

2. Загальна характеристика програми MathCad

Виробник програми MathCad фірма Mathsoft Inc. не без підстав вважає, що її продукт є ідеальним математичним інструментом для користувачів, що працюють в області техніки чи природничих наук, а також для студентів, викладачів і навіть школярів. MathCad поєднує універсальність і широкі можливості мов програмування з простотою в користуванні, що властиве електронним таблицям.

MathCad може:

-використовуватися як кишеньковий калькулятор для простих обчислень (те, що він не міститься в кишені – не перешкода);

-замінити комп'ютерні програми, що виконують більш складні обчислення, наприклад, знаходження коренів трансцендентного рівняння. Починаючи з версії 7.0 для професіоналів, передбачена можливість програмування з використанням таких керуючих структур, як розгалуження, цикли, підпрограми і т.д. Тим самим визначені дії можуть бути запрограмовані так, як це властиво мовам програмування;

9

-визначати значення виразів, заданих у символьному вигляді (символьне числення), визначати вид похідної як завгодно складної функції, а не тільки знаходити її чисельні значення в окремих точках, обчислювати визначені і

невизначені інтеграли чи виражати одну змінну через інші в рівнянні з декількома невідомими і т.д.;

- замінити довідкові таблиці (наприклад, таблицю інтегралів чи таблиці значень стандартних розподілів у прикладній статистиці);

-будувати графіки, що як візуальний допоміжний засіб можуть істотно полегшити подальші обчислення , а також гістограми і навіть тривимірні стовпчасті діаграми для представлення статистичної інформації;

-створювати документи, якість оформлення яких дозволяє безпосередньо включати їх у звіти;

-різноманітними способами вступати в контакт із зовнішнім комп'ютеризованим світом. Це може бути обмін даними з іншими додатками

(наприклад, Excel, MatLab і т.п.) чи використання MathCad–документів, отриманих через Internet.

Приведемо коротку інформацію про вимоги до апаратного і програмного забезпечення комп'ютера.

Апаратне забезпечення: IBM-сумісний комп'ютер із процесором Pentium і тактовою частотою 100 МГц; не менш 16 Мбайт оперативної пам'яті; для повної інсталяції версії MathCad 2000 Professional потрібно не менш 100 Мбайт вільної пам'яті на жорсткому диску, а для версії MathCad 2000 Standart – на трохи мегабайт менше; підтримувана Windows графічна карта і відповідний монітор; підтримувана Windows миша чи сумісний з нею пристрій. Програмне забезпечення: операційна система, сумісна з Microsoft Windows NT (версії починаючи з 3.51) чи Microsoft Windows 95. У випадку, якщо необхідний обмін MathCad–документами через Internet, потрібний доступ до мережі через Internet – провайдера, а також модем чи ISDN – карта.

Вхідна мова програми МathСad. МathСad володіє спеціалізованою вхідною мовою програмування дуже високого рівня, орієнтованого на математичні розрахунки. МathСad насамперед жадає від користувача коректного опису алгоритму рішення математичної задачі вхідною мовою, дуже нагадуючи загальноприйняту мову опису математичних і науково-технічних розрахунків. Природно, цей опис повинний бути вичерпно повним і абсолютно точним.

Алфавіт МathСad. визначає сукупність символів і слів, що використовуються при завданні команд, необхідних для рішення цікавлячого користувача класу задач, і містить: рядкові і прописні латинські букви; рядкові і прописні грецькі букви; арабські цифри від 0 до 9; системні змінні; оператори; імена вбудованих функцій; спецзнаки; рядкові і прописні букви кирилиці (при роботі з русифікованими документами). До укрупнених елементів мови відносяться типи даних, оператори, функції користувача і керуючі структури. Усі ці елементи притаманні і будь-якій іншій мові програмування. До типів даних відносяться числові константи, звичайні і системні змінні, масиви (вектори і матриці) і дані файлового типу.

10