2. Потенціал поля. Еквіпотенціальні поверхні

Електростатичне поле і заряд q₀ взаємодіють і ця взаємодія характеризується потенціальною енергією W. Відношення

(6)

є енергетичною характеристикою поля і називається потенціалом поля. Потенціал  чисельно дорівнює потенціальній енергії взаємодії поля з одиничним зарядом.

Еквіпотенціальною поверхнею називається поверхня в кожній точці якої потенціал має одну й ту ж величину, тобто =cost. Еквіпотенціальні поверхні застосовуються для графічного зображення електростатичного поля і разом із силовими лініями вони дають повну картину силових та енергетичних характеристик поля.

3. Диференціальний звязок напруженості і потенціалу поля.

Сила F, що діє на пробний заряд q₀ в електричному полі, переміщує його на d. При цьому вона виконує елементарну роботу

,

де   кут між та d. Ця робота виконується електричним полем за рахунок убутку потенціальної енергії dW

,

і тому можна записати

,

або

. (7)

Вираз (7) є диференціальним рівнянням, що звязує енергетичну та силову характеристики поля.

Розвяжемо рівняння (7) відносно напруженості поля Е. Якщо переміщення пробного заряду здійснюється вздовж осі ОХ на відстань dx, то . і

,

де   кут між віссю ОХ та вектором dL. Зважаючи на те, що , одержимо

.

Аналогічно можна одержати вирази для складових напруженості

та

і записати вектор Е=(Е_x, Е_y, Е_z) через значення компонент 

(8)

або, ввівши математичний оператор градієнта

,

вираз (8) запишемо у вигляді

. (9)

Знак мінус означає, що вектор Е направлений у напрямі зменшення потенціалу .

4. Інтегральний зв'язок напруженості та потенціалу поля.

Якщо проінтегрувати вираз (7) вздовж якоїсь кривої, якою може переноситися заряд q₀ з точки 1 в точку 2, то одержимо вираз

. (10)

Інтеграл у лівій частині (10) обчислюється елементарно

. (11)

Інтеграл у правій частині (10) чисельно дорівнює роботі по перенесенню одиничного заряду із точки 1 у точку 2 поля і з огляду на (11) ця робота не залежить від шляху, по якому він буде переноситися. Остаточно різницю потенціалів між точками 1 та 2 можна записати у вигляді

(12)

Якщо крива L буде замкненою, то точка 2 співпаде з точкою 1 і тоді , а інтегрування буде проводитися по замкненому контуру

. (13)

Циркуляцією Г_Е вектора напруженості Е називається інтеграл по будь-якій замкненій кривій L від , тобто

.

Вираз (13) визначає, що циркуляція напруженості електростатичного поля

(14)

Ознакою потенціальності будь-якого силового поля є рівність 0 циркуляції його вектора напруженості, у противному поле називається вихровим.

5. Взаємне розташування силових ліній та еквіпотенціальних поверхонь

Покажемо, що силова лінія L і еквіпотенціальна поверхня S у точці перетину A взаємно перпендикулярні, тобто кут між дотичними до них становить =90^о (див.Мал.2а). Доведемо це твердження.

При переміщенні одиничного пробного заряду по еквіпотенціальній поверхні (=const) на вектор виконується елементарна робота, яка дорівнює. Приріст потенціалуміж будь-якими точками цієї поверхні дорівнює 0 і тому скалярний добуток, що означає перпендикулярність векторів та (=90⁰), які лежать на дотичній до силової лінії L та на дотичній до еквіпотенціальної поверхні S відповідно. Таким чином доведено, що силова лінія L і еквіпотенціальна поверхня S у точці перетину A взаємно перпендикулярні. На Мал.2б представлено силові лінії напруженості та еквіпотенціальні поверхні для неоднорідного розподілу заряду на поверхні деякого тіла. Напруженість поля за величиною більше при вістрях тіла.