Задачі та вправи

І. Навести приклад множини Y, еквівалентної множині X={1,2,3,4,5}. Скільки взаємно однозначних відображень існує між Х та Y?

ІІ. Чи рівнопотужні множини: 1) N⁺ та N^-, 2) N^- та N⁺, 3) N та Z, 4) N⁺ та Q, 5) N та R?

III. Нехай А – незліченна множина й В – деяка зліченна підмножина множини А. Довести, що множина В\А незліченна.

ІV. Чи є зліченною: 1) множина усіх непарних цілих чисел; 2) множина усіх ірраціональних чисел?

V. Методом математичної індукції довести, що:

1) n⁷-n ділиться на 7 при будь-якому цілому невід’ємному n,

2) 52^3n-2 + 3^3n-1 ділиться на 19 при будь-якому цілому додатному n,

3) n(4n²-1) ділиться на 3 при будь-якому цілому n0,

4) n²(n+1)² ділиться на 4 при будь-якому цілому невід’ємному n,

5) n(2n²-3n+1) ділиться на 6 при будь-якому цілому невід’ємному n,

6) 4ⁿ + 15n-1 ділиться на 9 при будь-якому цілому невід’ємному n.

VІ. Методом математичної індукції довести рівності:

1) , 2) 1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6, n>0,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) ,

8) (1+…+n)²=1³+…+n³,

9) (a+b)ⁿ=C_n⁰aⁿb⁰+…+C_n^ja^n-j b^j+…+C_nⁿa⁰bⁿ , n1, 1jn.

VІІ. Методом математичної індукції довести, що

1) множина з n елементів має 2ⁿ підмножин,

2) непорожню множину з n елементів можна розбити на дві непорожні множини 2^n-1-1 способами.

Список використаної та рекомендованої літератури

1. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. – 400 с.

2. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование. – К.: Наукова думка, 1989. – 328 с.

3. Капітонова Ю.В., Кривий С.Л., Летичевський О.А., Луцький Г.М., Печурін М.К. Основи дискретної математики. К.: Наукова думка, 2002. – 580 с.

4. Кук Г., Бейз Д. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. – 400 с.

5. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М.: Наука, 2001. – 234 с.

6. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М.:Просвещение, 1968. – 231 с.

Символи та позначення

N – множина усіх невід’ємних цілих чисел

N⁺ – множина усіх додатних цілих чисел

Z – множина усіх цілих чисел

Q – множина усіх раціональних чисел

R – множина усіх дійсних чисел

хА – х належить А

хА – х не належить А

АВ – А є підмножиною В

АВ – А є власною підмножиною В

АВ – А включає В

АВ – А не є підмножиною В

А=В – А та В рівні

(х) – для кожного х

Х  Y – з Х випливає Y

Х  Y – Х тоді й тільки тоді, коли Y

 – порожня множина

АВ – об’єднання А та В

АВ – перетин А та В

А\В – різниця А та В

А – доповнення А

АВ – симетрична різниця А та В

U – універсальна множина

В(Х) – булеан Х

<x,y> – упорякована пара об’єктів (елементів) х та у

<x₁,…,x_n> – упорядкована n-ка (кортеж) об’єктів (елементів) x₁,…, x_n

АВ – декартів добуток А та В

А₁…А_n – декартів добуток А₁,…,А_n

Аⁿ – n-й декартів степінь А

xRy – <x,y>R

RA² – R є бінарне відношення на А

і_А – діагональ А

R^-1 – відношення, обернене до R

R₁R₂ – композиція R₁ та R₂

D(R) – область визначення R

R(R) – область значень R

F: AB – відображення А у В

F(а) – образ а при відображенні F

F^-1(а) – повний прообраз а при відображенні F

F(А) – образ множини А при відображенні F

F^-1(А) – прообраз множини А при відображенні F

А/R – фактор-множина А по R

R_r – рефлексивне замикання R_r

R_s – симетричне замикання R

R_t – транзитивне замикання R

R_rst – рефлексивно-симетрично-транзитивне замикання R

<A,R> – А частково упорядкована відношенням R

АВ – А та В рівнопотужні

А – потужність множини А

₀ – потужність множини N⁺

Навчально-методичне видання