Задачі та вправи

І. Які з відношень завдань XXVIІ-XXІX до попереднього розділу є відношен-нями: 1) часткового порядку, 2) строгого порядку, 3) передпорядку, 4) лінійного порядку, 5) повного порядку.

ІІ. Побудувати частково упорядковану множину, яка має:

1) найменший елемент, максимальний елемент й не має найбільшого елементу;

2) мінімальний елемент й не має найменшого елемента;

3) два мінімальних та два максимальних елемента.

ІІІ. Побудувати відношення часткового порядку на множині:

1) мешканців одного міста;

2) трикутників на площині;

3) поліномів порядку n від однієї змінної;

4) спектаклів з репертуару одного театру;

5) назв населених пунктів України;

6) літаків, приписаних до одного аеропорту;

7) Z².

IV. Побудувати:

1) на множині літер українського алфавіту частковий порядок, який не є лінійним;

2) відношення строгого порядку на множині студентів однієї групи;

3) передпорядок на множині студентів одного університету,

4) передпорядок на множині N².

V. Побудувати відношення лінійного порядку на множині:

1) {+,-,,,!},

2) P({а,b,cd},

3) N²,

4) NN²,

5) комплексних чисел,

6) A², де A={u,v,w,z,x},

7) слів орфографічного словника,

8) учнів школи,

9) країн світу.

VІ. Побудувати такий лінійний порядок R на множині натуральних чисел, що існує найбільший елемент відносно R.

VІІ. Побудувати повний порядок на множині:

1) вулиць Києва,

2) цілих від’ємних чисел,

3) цілих чисел Z.

VІІІ. Довести, що i_A є частковий порядок на множині А.

ІХ. Нехай _B, _A – часткові порядки на множинах B та A відповідно. Довести, що <a₁,b₁>  <a₂,b₂>  a₁ _A a₂ й b₁ _B b₂ – частковий порядок на AB.

Х. Показати, що якщо відношення R на множині А іррефлексивне та транзитивне, то відношення R₁ на А, таке що xR₁y  xRy або x=y, є частковим порядком на А.

ХІ. Нехай A – непорожня частково упорядкована множина, що має n елементів. Довести, що А містить мінімальний та максимальний елементи.

ХІІ. 1) Нехай  – частковий порядок на множині А. Визначимо на А відно-шення R: xRy  xy й xy. Довести, що R – строгий порядок на А.

2) Нехай < – строгий порядок на множині А. Визначимо на А відношення R: xRy  x<y або x=y. Довести, що R – частковий порядок на А.

3) Нехай Q – передпорядок на множині А. Визначимо на А відношення R: xRy  хQу та <y,x>Q. Довести, що R – строгий порядок на А.

4) Нехай Q – передпорядок на множині А. Визначимо на А відношення R: xRy  хQу й yQx. Довести, що R – відношення еквівалентності на А.

ХІІІ. Довести, що будь-яка підмножина частково упорядкованої множини частково упорядкована.

ЛЕкція 4. Відображення Поняття відображення

Відношення R, задане на множинах А та В, називається функціональним, якщо для кожного елемента xА існує не більше одного елемента yВ такого, що <x,y>R. Іншими словами, у функціональному відношенні R, заданому на множинах А та В, кожен елемент множини А може бути (першим) компонентом не більш, як однієї пари, що належить R.

Наприклад, відношення R={<1,b>,<3,a>,<4,b>}, задане на множинах A={1,2,3,4} та B={a,b,c}, є функціональним, оскільки кожен з елементів 1,3,4 з множини А є першим компонентом лише однієї пари відношення R, а елемент 2 з множини А не є першим компонентом жодної пари відношення R. Відношення Q={<1,a>,<1,b>,<2,c>}, задане на тих самих множинах А та В, не функціональне, тому що елемент 1 з множини А зустрічається двічі (тобто більше одного разу) на першому місці у парах, які належать Q. Не функціональними є також відношення < та  на множині N, оскільки для кожного числа n з N існує не одне число mN таке, що n<m й nm.

Нехай R – відношення, задане на множинах А та В. Назвемо областю визначення відношення R (позначається D(R)) множину {x| xA, існує yВ такий, що <x,y>R}. Областю значень відношення R (позначається R(R)) назвемо множину {y| yB, існує такий xA, що <x,y>R}.

Нехай, наприклад, RAB, A={1,2,3,4}, B={1,3,5}, R={<1,1>, <1,5>,<2,3>,<3,5>,<3,3>}. Тоді D(R)={1,2,3}, R(R)={1,3,5}.

Функціональне відношення F на множинах А та В назвемо відображенням множини А у множину В (або функцією з А у В), якщо D(F)=А. Функціональне відношення F на множинах А та В назвемо частковим відображенням множини А у множину В (або частковою функцією з А у В), якщо D(F)А. Позначатимемо (часткове) відображення F множини А у множину В через F: АВ. Якщо <a,b>F, то елемент b називають образом елементу а, елемент а – прообразом елементу b при відображенні F й пишуть b=F(a). Множина усіх відображень А у В позначається В^А.

Часто відображення множини A у множину B задається у вигляді F(x)=t(x), де xA, t(x) – деякий вираз. Наприклад, відображення F:NN, F={<x,y>| x,yN, y=2x}, можна задати у вигляді F(x)=2x.

Відображення множини А у множину А називають перетворенням множини А.

Через F^-1(b) позначимо множину {a| aA, F(a)=b}; F^-1(b) називається повним прообразом елементу b при відображенні F. Нехай F:АВ й ХА. Образом множини Х при відображенні F (позначається F(Х)) назвемо множину {y| yB, F^-1(y)}.

Наведемо приклади відображень. Відношення F={<1,a>,<2,a>,<3,c>, <4,d>,<5,d>}, задане на множинах А={1,2,3,4,5} та В={a,b,c,d,e}, є відо-браженням А у В, тому що F функціональне й D(F)={1,2,3,4,5}=А. F^-1(a)={1,2}, F^-1(b)=, F^-1(c)={3}, F^-1(d)={4,5}, F^-1(e)=, F(A)={a,c,d}, F({1,2,3})={a,c}. Відно-шення Q={<2,c>,<3,d>,<5,b>}, задане на тих самих множинах, є частковим відображенням А у В, тому що Q функціональне й D(Q)={2,3,5}А.

Зауважимо, що коли F (F:AB) – відображення, то відношення F^-1 може не бути відображенням. Розглянемо, наприклад, множини A={1,2}, B={a,b} та відображення F={<1,a>,<2,a>} А у В. F^-1={<a,1>,<a,2>}. F^-1 – нефункціональне відношення на множинах В та А, отже, F^-1 не є відображенням В у А.

Якщо А=А₁…А_n, то (часткове) відображення F: АВ називають (частковим) відображенням множини А₁…А_n у множину В (або (частковою) функцією з А₁…А_n у В).

Нехай, наприклад, A₁={1,2,3}, A₂={2,4}, A₃={a,b}, B={d,f,g}. Відношення F={<1,4,a,f>,<2,2,a,d>,<1,2,b,f>,<3,2,a,d>}, задане на множинах А₁, А₂, А₃, В, є частковим відображенням А₁А₂А₃ у В. Відношення R={<1,2,a,d>,<1,2,a,f>, <2,4,b,g>}, задане на тих самих множинах, не функціональне на множинах А₁А₂А₃ та В, оскільки для елементу <1,2,a> множини А₁А₂А₃ існує два (тобто більше одного) елемента у з множини В (це елементи d та f) таких, що <1,2,a,у>В, отже, R не є відображенням А₁А₂А₃ у В.

Теорема 11. Довести, що для будь-якої функції F виконується:

1) F(AB)=F(A)F(B), 2) F(AB)  F(A)F(B),

3) F(A)\F(B)=F(A\B), 4) AB  F(A)F(B),

5) F(A)=  AD(F)=, 6) F^-1(AB)=F^-1(A)F^-1(B),

7) F^-1(AB)=F^-1(A)F^-1(B), 8) F^-1(A\B)=F^-1(A)\F^-1(B),

9) AB  F^-1(A)F^-1(B), 10) F^-1(A)=  AR(F)=.

Доведемо перше твердження. Нехай xF(AB). Тоді у множині AB існує такий елемент у, що х=F(y); yA або уВ. Розглянемо перший з цих випадків: yA  xF(A)  xF(A)F(B). У випадку yB маємо: yВ  xF(B)  xF(A)F(B). Отже, F(AB)F(A)F(B). Нехай тепер хF(A)F(B). Тоді xF(A) або xF(B). У випадку xF(A) у множині А існує такий елемент у, що х=F(y), але уАВ й тоді хF(AB). Якщо xF(B), то у множині В існує такий елемент z, що х=F(z). Оскільки zB  zAB, то хF(AB). Таким чином, F(A)F(B)F(AB). Отже, F(AB)=F(A)F(B).