2. Гармоническая линеаризация нэ.

При гармонической линеаризации нелинейные элементы заменяются их линейными моделями, полученными в результате изучения реакций на гармонические входные сигналы.

На вход нелинейного элемента подаётся гармонический сигнал ε(t)=A·sinωt , выходная функция z(t)=F(A·sinωt)- периодический (не гармонический) сигнал.

Ограничимся рассмотрением безынерционных НЭ с петлевыми нечётносимметричными статическими характеристиками (простейшие НЭ).

Разложим z(t) в ряд Фурье

где при усреднении по фазе и замене

- постоянная составляющая выходной функции,

- амплитуда синфазной составляющей z(t),

- амплитуда квадратурной составляющей z(t).

Выходной сигнал НЭ может быть представлен своей первой гармоникой, так как статическая характеристика НЭ нечетная () и выполняется гипотеза фильтра:

,

где ,.

Сделав замену получим

, где - оператор дифференцирования по времени,

- коэффициенты гармонической линеаризации НЭ.

Преобразования по Лапласу выходной функции и входного воздействия имеют вид

,

, где р – оператор Лапласа.

По аналогии с линейным звеном свойства нелинейного элемента можно представить передаточным коэффициентом, называемым эквивалентным комплексным передаточным коэффициентом НЭ (эквивалентной передаточной функцией).

Определим эквивалентную передаточную функцию:

,

преобразование Фурье - эквивалентная частотная характеристика, которая зависит от амплитуды входного сигнала.

Таким образом, нелинейный элемент может быть заменен линейным; этот прием получил название гармонической линеаризации нелинейностей.

Эквивалентная структурная схема НЭ:

Если статическая характеристика НЭ однозначная (не петлевая), то .

Наряду с рассмотренными встречаются такие нелинейные элементы, у которых выходной сигнал является функцией входного воздействия и его производной, т.е. z=F(Asinψ, Aωcosψ). В таких случаях первая гармоника периодических колебаний на выходе зависит не только от амплитуды, но и от частоты синусоидальных колебаний на входе.

Приведём операторную запись во временной области, используя эквивалентный оператор нелинейного элемента:

z=[q(A,ω) + q´(A,ω)··p] ·ε , где p≡.

Такие элементы называются непростейшими. Коэффициенты гармонической линеаризации оказываются зависимыми не только от амплитуды, но и от частоты и в случае нескольких простейших нелинейных элементов, между которыми располагаются инерционные звенья.

3. Определение условия автоколебаний в системе с одним простейшим нэ.

Пусть два необходимых условия применимости метода выполнены:

1. На входе НЭ амплитуды высших гармоник малы (гипотеза фильтра);

2. На условия баланса амплитуд и фаз мало влияют высшие гармоники и неучтённые параметры.

Тогда сигнал на выходе линейной части в форме преобразований Фурье:

.

Если рассматривается свободное движение и в замкнутой системе возникли автоколебания, то

, где =0,

отсюда , то есть условие возникновения автоколебаний

- уравнение Л.С.Гольдфарба. (1)

В результате преобразований:

, k=0,1,2,3…

получим - баланс амплитуд; (2)