Устойчивость нелинейных систем

Нелинейные системы в отличие от линейных могут быть устойчивы в одних режимах работы и неустойчивы в других.

Различают устойчивость в малом, в большом, в целом.

Движение устойчиво в малом, если условия устойчивости выполняются лишь в малой окрестности равновесия, то есть при малых начальных отклонениях.

Если же движение устойчиво при конечных отклонениях, возможных в данной системе по условиям её работы, то его принято называть устойчивым в большом.

Движение устойчиво в целом, если оно устойчиво при любых начальных отклонениях, то есть не зависит от них.

Критерий абсолютной устойчивости в.М. Попова

Рассматривается замкнутая система с одним нелинейным звеном.

Система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевых ограниченных начальных условиях свободное движение y(t) ограничено при t є [0,∞) и lim y(t)=0 (t→∞).

Если окажется, что это свойство выполняется для любых нелинейных элементов из некоторого класса, то устойчивость называется абсолютной.

Теорема В.М. Попова.

Пусть выполняются условия:

1. все полюсы передаточной функции линейной части системы имеют отрицательные действительные части;

2. характеристика нелинейного элемента принадлежит сектору [0,k],

т.е. F(0)=0, 0 ≤ F(ε) / ε ≤ k при всех ε≠0;

3) существует действительное число q такое, что при всех ω є [0,∞)

выполняется неравенство

Re [(1+jωq)W(jω)]+1/k = u(ω)-qωυ(ω)+1/k >0,

q-произвольное действительное число.

Тогда при любых ограниченных начальных отклонениях от нулевого значения система будет абсолютно устойчивой.

Z=k ε

Z=F(ε)

ε

Z

0

Алгоритм анализа абсолютной устойчивости:

1. Построим годограф модифицированной

частотной характеристики

W̃(jω) = Re W(jω) + jωImW(jω).

2. Находим параметр k (наименьший из возможных), удовлетворяющий условию п.2 теоремы.

3. Анализ геометрической интерпретации условий абсолютной устойчивости:

3

jωυ(ω)

.1.

Абсолютной устойчивости нет.

3.2.

jωυ(ω)

u(ω)

-1/k

ω→∞

ω→0

arctg 1/q

W̃(jω)

опорная прямая Попова, лежащая левее годографа W̃(jω).

Система абсолютно устойчива.

3.3.

jωυ(ω)

u(ω)

-1/k

W̃(jω)

ω→∞

ω→0

Заключения об абсолютной устойчивости нет.

Методы исследования нелинейных сау

Методы разделяются на две группы:

1. Основанные на решении нелинейных дифференциальных уравнений («припасовывания», фазовых траекторий, точечных преобразований, графо-аналитические, частотный В.М. Попова, численные, моделирования);

2. Использующие линеаризацию нелинейной характеристики с последующим применением линейных методов анализа систем (малого параметра, гармонического баланса, статистической линеаризации).

Метод гармонической линеаризации

1. Назначение и сущность метода; гипотеза фильтра.

Метод позволяет исследовать возможность появления автоколебательных режимов, определить основные параметры автоколебаний (A, ω_а),

качественно оценить влияние нелинейностей на устойчивость и переходные процессы в системе, как устранить автоколебания или же как изменить их параметры в желаемом направлении.

Сущность метода гармонического баланса заключается в замене нелинейного элемента эквивалентным линейным, передаточный коэффициент которого не является постоянным, а зависит в общем случае от амплитуды и частоты искомых автоколебаний.

F(ε)

W_л(p)

+

-

u(t)=0

ε(t)

Z(t)

Рассматривается замкнутая система с одним НЭ. Изучается свободное движение системы, то есть движение при ненулевых начальных условиях в отсутствие внешних воздействий. В системе возможно возникновение автоколебаний. При этом Z(t)- периодическая функция, содержащая спектр гармонических составляющих.

y(t)

Если при прохождении через линейную часть системы Z(t) фильтруется так, что можно пренебречь всеми гармониками выше первой, то анализ системы можно вести методом гармонического баланса. Это предположение- необходимое условие применения метода гармонической линеаризации, его называют гипотезой фильтра, введено Е.П. Поповым. Поскольку высшие гармоники по амплитуде обычно меньше, чем первая гармоника, а линейная часть САУ узкополосная, устойчивая (могут быть нулевые корни характеристического уравнения линейной части), отсутствуют резонансные звенья, |W(jω_a)| >>|W(jkω_a)| при k >1, то во многих практических случаях гипотеза фильтра выполняется. Для приближённых расчётов последнее условие может быть смягчено и сформулировано так: наклон ЛАЧХ линейной части должен быть по крайней мере от -20 до -40 дБ/дек на частоте автоколебаний ω_а и выполнены неравенства:

при наклоне ЛАЧХ ,,

-20 дБ/дек

при наклоне ЛАЧХ ,.

-40 дБ/дек