Метод минимального расстояния

Изложенные выше методы обработки результатов опроса экспертов сводятся к определения средних значений оценок. Может быть предложен и другой подход для определения суммарной оценки. Рассмотрим геометрическое представлениеранжировочных оценок, даваемых экспертами. Предположим, что для каждой из П альтернатив выделена числовая ось гиперпространства. Тогда ранжировка альтернатив в этом гиперпространстве может быть представлена некоторой точкой. Координаты этой точки, изображающей систему предпочтений эксперта, определяются рангами, отложенными по соответствующим числовым осям. Система предпочтений каждого эксперта для данной совокупности альтернатив будет изображаться точкой в таком гиперпространстве. Разумно предположить, что в качестве суммарной оценки может быть выбрана такая, изображающая точка которой находится ближе всего ко всем точкам гиперпространства, изображающим предпочтения всех экспертов. Таким образом, если ввести понятие расстояния между экспертными оценками, то в качестве суммарной оценки можно определить такую, сумма расстояний до которой от оценок всех экспертов будет минимальной, т.е.

где - искомая оценка - ранжировка, выступающая в качестве аргумента, минимизирующего сумму расстояний;- расстояние между ранжировками;- ранжировкак-го эксперта; - множество всех возможных нестрогих ранжировок, задаваемых матрицамив которыхтолько тогда, когда,= -1, когда;= 0, ког­да и I=[1,n].

Расстояние между ранжировками наиболее часто определяется

следующим способом.

Если идве ранжировки, то

Такое понятие расстояния между ранжировками удовлетворяет следующим условиям:

в случае, если ранжировки совпадают (А=В, т.е. );

расстояние между двумя ранжировками всегда неотрицательно

расстояние не зависит от направления измерения =;

минимальное положительное расстояние между двумя ранжировками равно единице (для выполнения этого условия в понятие рас­стояния введен нормирующий множитель 1/2);

расстояние не зависит от того, как пронумерованы аль­тернативы, т.е. расстояниеинвариантно относительно одинаковых перестановок альтернатив внутри ранжировок;

для расстояния реализуется "правило треугольника":

причем равенство справедливо только тогда, когда ранжировка с находится между В и А, т.е. когда илидля всехi и j .

Ранжировка, сумма расстояний до которой от всех ранжировок экспертов минимальна, называется медианой Кемени - Онелла.

Иногда для определения суммарной ранжировки группы экспер­тов используют так называемое среднее значение, определяемое соотношением

Для более наглядного представления о методе минимального расстояния рассмотрим некоторый гипотетический пример.

Пусть три эксперта (N = 3) проводят ранжировку четырех ( n= 4) альтернатив (объектов) по некоторой системе признаков. При реализации попарного сравнения ими были даны оценки, которые в матричной форме представляются в виде

что равносильно следующей системе предпочтений экспертов:

, ,

Вычислим расстояния между матрицами

(легко видеть, что при вычислении расстояния достаточно включать только отличающиеся элементы матриц).

Если в качестве суммарной оценки взять А¹, то

При А² получим

при А³ получим

В принципе нужно рассмотреть все. возможные ранжировки для нахождения действительной медианы Кемени - Скелла. Например,

что соответствует системе предпочтений <1~2~3,4>. В этом случае

так как

Не останавливаясь на полном переборе всех возможных ранжировок, ограничимся констатацией факта минимальной суммы расстояний всех ранжировок от ранжировки А⁴, т.е. определим ее как медиану Кемени - Снелла. Тогда ранжировка объектов определится: