Задание №4.

Используя метод Милна, составить таблицу приближённых значений интеграла дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиямна отрезке (0,1), шаг. Начальный отрезок определить либо уточнённым, либо модифицированным методом Эйлера.

Решение:

Для определения начального отрезка воспользуемся уточнённым методом Эйлера:

, где

, где

:

:

:

Таблица решений по уточнённому методу Эйлера для начального отрезка:

	0	1	2	3
	0	0.1	0.2	0.3
	0,4	0.4425	0.4915	0.549787

Далее для каждой точки, начиная с четвёртой, найдём прогнозируемое значение по первой формуле Милна:

, где

Таким образом

Далее необходимо посчитать прогнозируемые значения , где.

Далее прогнозируемые значения необходимо подставить во вторую формулу Милна (формула коррекции):

, где .

Таблица прогнозируемых значений:

	4	5	6	7	8	9	10
	0,4	0,5	0,6	0,7	0.8	0.9	1
	0.62041	0.707038	0.813265	0.943163	1.101486	1.293264	1.524123

Таблица прогнозируемых значений , где.

	4	5	6	7	8	9	10
	0,4	0,5	0,6	0,7	0.8	0.9	1
	0.780410	0.957038	1.173265	1.433163	1.741486	2.103264	2.524123

Таблица скорректированных значений:

	4	5	6	7	8	9	10
	0,4	0,5	0,6	0,7	0.8	0.9	1
	0.620535	0.707086	0.813274	0.943198	1.101521	1.293280	1.524146

Ответ:

0	0	0.400000
1	0,1	0.442500
2	0,2	0.491500
3	0,3	0.549787
4	0,4	0.620535
5	0,5	0.707086
6	0,6	0.813274
7	0,7	0.943198
8	0,8	1.101521
9	0,9	1.293280
10	1	1.524146

Задание №5.

Используя метод прогонки, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с заданной точностью, шаг

Решение:

, значит , где

Параметры граничных условий:

Коэффициенты дифференциального уравнения:

Метод прогонки:

Значения этих коэффициентов:

1	1.50	0.93	-2	1.0	-0.510349	-0.487157	-0.001247
2	1.55	0.96	-2	1.0	-0.510723	-0.486783	-0.001247
3	1.60	0.99	-2	1.0	-0.511097	-0.486409	-0.001247
4	1.65	1.02	-2	1.0	-0.511471	-0.486035	-0.001247
5	1.70	1.05	-2	1.0	-0.511845	-0.485661	-0.001247

Значения коэффициентов иможно найти из первого краевого условия, а также из основного уравнения при:

За прямой ход прогонки находятся все допо формулам

	2	3	4	5
	-0.679541	-0.763441	-0.813226	-0.845959
	-0.274963	-0.175384	-0.124798	-0.093861

можно определить из второго краевого условия:

За обратный ход прогонки определяем , начиная сдо, по формуле

	5	4	3	2	1
	-3.069403	-2.394630	-1.694265	-0.964474	-0.201171

определяется из начальных условий по формуле:

Ответ: решение дифференциального уравнения на заданном интервале имеет вид:

0	1,5	0.600000
1	1,55	-0.201171
2	1,6	-0.964474
3	1,65	-1.694265
4	1,7	-2.394630
5	1,75	-3.069403
6	1,8	-3.722175