Пермский Государственный Технический Университет

Электротехнический факультет

Кафедра АТ

Расчётная работа №2

Вычислительные методы

Вариант №20.

Работу выполнил студент

гр. КРЭС-05

Пьянков А. Л.

Проверил доцент кафедры АТ

Леготкина Т. С.

Пермь 2007

Задание №1.

Найти приближённое значение функции при данном значении аргумента с помощью соответствующего интерполяционного полинома.

X	0,11	0,15	0,21	0,29	0,35	0,40
Y	9,05421	6,61659	4,69170	3,35106	2,73951	2,36522

Вычислить .

Решение:

В данном случае имеем неравноотстоящие узлы интерполяции.

Поэтому построим интерполяционный полином по интерполяционной формуле Ньютона для неравноотстоящих узлов.

Для этого необходимо посчитать разностные отношения.

Разностные отношения можно найти по формулам:

…

и т. д.

X	Y
0,11	9,05421	-60,9405	288,59	-995,202381	2843,402778	-7108.7049
0,15	6,61659	-32,0815
0,21	4,61170	-16,758	109,453571	-312,785714
0,29	3,35106	-10,1925	46,896429		781,878332
0,35	2,73951	-7,4858	24,606364	-117,316131
0,40	2,36522

Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов имеет вид:

С помощью этого интерполяционного полинома можно найти искомое значение

Найдём значение.

Ответ: ;.

Задание №2.

Используя квадратичную интерполяцию, вычислить значение функции при данном значении аргумента. Предварительно убедиться в применимости формулы, для чего выбрать 6 значений из таблицы Брадиса и составить таблицу разностей.

Решение:

Таблица разностей (значения функции взяты из таблицы Брадиса):

X,˚	X, рад	Y
	0.1571	0.1583	0.0179	0.0001
	0.1745	0.1763	0.0181
	0.192	0.1943	0.0182	0.0001
	0.2094	0.2125	0.0183	0.0001
	0.2269	0.2308	0.0185	0.0001
	0.2443	0.2493

Очевидно , следовательно, можно воспользоваться квадратичной интерполяцией.

Воспользуемся второй формулой Ньютона.

Шаг

Вторая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполяции в конце таблицы, поэтому с её помощью можно найти значение.

Значит

Ответ: .

Задание №3.

Вычислить интеграл по формуле трапеций и по формуле Симпсона. Оценить погрешность результата для .

Решение:

Формула трапеций:

1)

Пределы интегрирования .

	0	1	2	3	4
	1,2	1,5	1,8	2,1	2,4
	0.503793	0.458831	0.417392	0.380418	0.347945

2)

Пределы интегрирования . Шаг

Функция

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1,2	1,35	1,5	1,65	1,8	1,95	2,1	2,25	24
	0.503793	0.480986	0.458833	0.437583	0.417392	0.398331	0.380418	0.363636	0.347945

Погрешность можно оценить по методу двойного пересчёта: у нас один и тот же интеграл посчитан два раза с шагом h и 2h:

при ,.

при ,

Ответ: ,,.

Формула Симпсона:

1) Пределы интегрирования .

	0	1	2	3	4
	1,2	1,5	1,8	2,1	2,4
	0.503793	0.458831	0.417392	0.380418	0.347945

2): пределы интегрирования.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1,2	1,35	1,5	1,65	1,8	1,95	2,1	2,25	2,4
	0.503793	0.480986	0.458831	0.437583	0.417392	0.398331	0.380418	0.363636	0.347945

По методу двойного пересчёта:

при ,

при ,

Ответ: , , .