3_теориЛеготкина / выч методы / 2-лаба / Расчётная работа №2 / Расчётная работа №2

Пермский Государственный Технический Университет

Электротехнический факультет

Кафедра Автоматики и Телемеханики

Расчётная работа №2

по курсу

Вычислительные методы

Вариант №67.

Работу выполнил студент

гр. АТ-01-2

Григорьев Степан

Проверил доцент кафедры АТ

Леготкина Т. С.

Пермь, 2003 г.

Задание №1:

Найти приближённое значение функции при данном значении аргумента с помощью соответствующего интерполяционного полинома.

X	1,415	1,420	1,425	1,430	1,435	1,440
Y	0,888551	0,889599	0,890637	0,891667	0,892687	0,893698

Вычислить .

Решение:

В данном случае имеем равноотстоящие узлы интерполяции с шагом .

Построим интерполяционный полином по первой формуле Ньютона, для этого необходимо посчитать конечные разности.

Таблица конечных разностей:

и т. д.

X	Y
1,415	0,888551	0,001048	-0,00001	0,000002	-0,000004	0,000007
1,420	0,889599	0,001038
1,425	0,890637	0,001030	-0,000008	-0,000002
1,430	0,892667	0,001020	-0,00001		0,000003
1,435	0,892687	0,001011	-0,000009	0,000001
1,440	0,893698

Первая интерполяционная формула Ньютона:

Так как конечные разности третьего порядка уже во много меньше самих значений функции, то их составляющими в первой интерполяционной формуле Ньютона можно пренебречь, т. е. принять .

В этом случае интерполяционный полином будет иметь вид:

Первая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполяции в начале таблицы, поэтому с её помощью можно найти значение.

Оценим погрешность:

Построим интерполяционный полином по второй формуле Ньютона:

Вторая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполяции в конце таблицы, поэтому с её помощью можно найти значение.

Оценим погрешность:

Ответ: при ; при .

Задание №2:

Используя квадратичную интерполяцию, вычислить значение функции при данном значении аргумента. Предварительно убедиться в применимости формулы, для чего выбрать 6 значений из таблицы Брадиса и составить таблицу разностей.

Решение:

Выберем 6 значений из таблицы Брадиса и составим таблицу разностей:

X,˚	X, рад	Y
	0,7156	0,6561	0,0131	-0,0002
	0,7330	0,6691	0,0129
	0,7505	0,6820	0,0127	-0,0002
	0,7679	0,6947	0,0125	-0,0002
	0,7854	0,7071	0,0122	-0,0003
	0,8029	0,7193

Очевидно

Следовательно можно применять формулы квадратичной интерполяции.

Воспользуемся первой формулой Ньютона.

В этом случае интерполяционный полином будет иметь вид:

Первая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполяции в начале таблицы, поэтому с её помощью можно найти значение.

Ответ: .

Задание №3:

Вычислить интеграл по формуле трапеций и по формуле Симпсона. Оценить погрешность результата для .

Решение:

1) по формуле трапеций:

Формула трапеций:

а): пределы интегрирования .

	0	1	2	3	4
	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1
	0,462745	0,396838	0,347734	0,309641	0,279182

Таким образом

б): пределы интегрирования .

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2	2,1
	0,462745	0,427179	0,396838	0,370625	0,347734	0,327561	0,309641	0,293610	0,279182

Таким образом

Оценим погрешность по методу двойного пересчёта: у нас один и тот же интеграл посчитан два раза с шагом h и 2h:

при

при

Ответ: при , при , .

2) по формуле Симпсона:

Формула Симпсона:

а): пределы интегрирования .

	0	1	2	3	4
	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1
	0,462745	0,396838	0,347734	0,309641	0,279182

Таким образом

б): пределы интегрирования .

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2	2,1
	0,462745	0,427179	0,396838	0,370625	0,347734	0,327561	0,309641	0,293610	0,279182

Таким образом

Оценим погрешность по методу двойного пересчёта: у нас один и тот же интеграл посчитан два раза с шагом h и 2h:

при

при

Ответ: при , при ,.

Задание №4:

Используя метод Милна, составить таблицу приближённых значений интеграла дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям на отрезке (0,1), шаг . Начальный отрезок определить либо уточнённым, либо модифицированным методом Эйлера.

Решение:

Для определения начального отрезка воспользуемся уточнённым методом Эйлера:

, где

, где

Определим :

Определим :

Определим :

Таблица решений по уточнённому методу Эйлера для начального отрезка:

	0	1	2	3
	0	0,1	0,2	0,3
	0,1	0,1225	0,152	0,19225

Далее для каждой точки, начиная с четвёртой, найдём прогнозируемое значение по первой формуле Милна:

, где

Таким образом

Получим таблицу прогнозируемых значений:

	4	5	6	7	8	9	10
	0,4	0,5	0,6	0,7	0.8	0.9	1
	0,248667	0,326256	0,431559	0,573369	0,762717	1,011638	1,334837

Далее необходимо посчитать прогнозируемые значения , где .

Таблица прогнозируемых значений :

	4	5	6	7	8	9	10
	0,4	0,5	0,6	0,7	0.8	0.9	1
	0,248667	0,326256	0,431559	0,573369	0,762717	1,011638	1,334837
	0,657333	0,902511	1,223117	1,636737	2,165435	2,833275	3,669675

Далее прогнозируемые значения подставим во вторую формулу Милна (формула коррекции):

, где .

Таблица скорректированных решений по второй формуле Милна:

	4	5	6	7	8	9	10
	0,4	0,5	0,6	0,7	0.8	0.9	1
	0,248644	0,325789	0,431535	0,573475	0,762745	1,011215	1,334908

Ответ: таблица приближённых значений интеграла исходного дифференциального уравнения имеет вид:

0	0	0,1
1	0,1	0,1225
2	0,2	0,152
3	0,3	0,19225
4	0,4	0,248644
5	0,5	0,325789
6	0,6	0,431535
7	0,7	0,573475
8	0,8	0,762745
9	0,9	1,011215
10	1	1,334908