3_теориЛеготкина / выч методы / 2-лаба / Расчётная работа №2 / Расчётная работа №2
.doc
Стандартный
способ решения уравнения - замена
интегрального уравнения конечномерной
системой алгебраических уравнений. Для
этого при вычислении интеграла необходимо
использовать какой-нибудь метод
численного интегрирования (прямоугольников,
трапеций, Симпсона, Гаусса и т. д.) и
определить неизвестную функцию
на дискретном множестве точек, отвечающем
выбору разностной формулы.
В
нашем случае необходимо использовать
метод Гаусса при
.
-
ядро интегрального уравнения.
-
свободный член.
По
методу Гаусса
,
где
- коэффициенты Гаусса,
- гауссовские узлы.
Из метода Гаусса получаем систему уравнений:
Данная система не решается, поэтому необходимо использовать полином Лежандра:
При
имеем
,
отсюда
получаем уравнение
Далее необходимо решить систему:
Переходим
к новым пределам интегрирования:
Узлы
,
в которых мы можем найти значение искомой
функции
,
следующие
(это
простое переобозначение узлов для
удобства подстановки в исходное
уравнение).
Получим систему уравнений:
,
в нашем случае
,
,
Обозначим
,
.
Найдём
значения коэффициентов
и
:
После преобразований система примет вид:
Решения этой системы:
Итак,
определена неизвестная функция
на дискретном множестве точек.
Погрешность метода Гаусса можно оценить по формуле:
Ответ:
,
,
.
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
|
0 |
0 |
-.5 |
-.54 |
-.56 |
-.56 |
-.54 |
-.5 |
-.44 |
-.36 |
-.26 |
-.14 |
0 |
|
|
1 |
0,1 |
-.48 |
-.51 |
-.521 |
-.512 |
-.483 |
-.435 |
-.368 |
-.281 |
-.176 |
-.050 |
-.093 |
|
|
2 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
