Основы информатики_Савельев А.Я_Учебник_2001

5 7. Ускорение операции умнолсеиия

Анализ произвольного количества разрядов множителя. Идея ме­ тода состоит в том, что выявляются последовательности нулей или единиц и затем проводится групповая обработка разрядов множителя. В случае, если встречается гругиш вида ...0100...О, то проводится сразу сдвиг на к

к

разрядов и прибавление множимого в сумматор. Если анализируется груп­

к

проводится замена ее на новую группу вида ...100... I , что означает вычи-

*

такие множимого на первом шаге, сдвиг на к разрядов и анализ группы следующих разрядов, образовавшейся после преобразования. Такой метод ускорения операции умножения требует создания сдвигающего устройства, обладающего возможностью одновременного сдвига на произвольное ко­ личество разрядов.

Конечтк), если бы числа состояли из достаточно длинного ряда последовательпосгей О или I, то такой метод дал бы высокий эффект в смысле с()крап;Еения времени на обработку. Однако, как правило, в раз­ рядах чаще чередуются О или I. Это значит, что в подобных случаях paccMoipcmiMii выше мегод не дает никакого эффекта. Поэтому он мо­ жет бьпь применен только в комбинации с обычными методами после­ довательно! о умножения.

Умножение в cHcietvie счнслення с основанием q = 2 . В некоторых машинах ЕС ЭВМ использовался переход на новое основание системы счисления вида q = 2 , за счет чего удается существеиио сократить время выполнения операции умножения.

Пусть ^ = 4 ; это означает, что числа представляются в шестнадцатеричнои системе счисления. При этом с помощью приема, аналогичного приему, использованному в случае одновременного анализа двух разрядов множителя, можно анализировать сразу тетраду (четыре двоичных разря­ да): рассмагриваются текущая цифра (тетрада) множителя и его предыду­ щая цифра (тетрада). В зависимости от значений цифры множителя в пре­ дыдущем разряде (равна или больше восьми, т. е. равен или нет единице ciapnuui рачряд геграды) проводятся разные действия (табл. 5.9). Для реа­ лизации этого приема требуется также предварительно готовить множимое А. увеличивая ею в I, 2, 3 и 6 раз.

131

5. Умно.исеиие чисел на двоичных сумматорах

Анализ четырех двоичных разрядов одновременно дает возможность сразу осуществить сдвиг на четыре двоичных разряда.

Так как при операции умножения необходимо складывать и вычитагь коды, то потребуется сумматор дополнительного или обратного кода.

Пример 5.9. Умножить два числа /) = 0,0001101 и В~0.О000МК) с олнонремепным анализом четырех разрядов множителя. Использовать сумматор дополнительного кола.

Р е ш е н и е , Для умножения потребуются числа: Л = О.СЮОО! 101, 2А= О.ОООНОШ.

зл^о.ооюот. 6/1 = 0.01001110.

Множитель Представляется в дополнительном коде [Я|д = 1,1 И ЮОШ,

вить его в сумматор. Содержимое сумматора станет 0,0001 iOiO.

!32

ею на че1ырс разряда влево и направить в сумматор, где проволшсн следующее дейс(вис-

0,00011010

1.00110000

Ответ /I/? = -0,101 iOi 10.

5.8. Матричные методы умножения

Сущее гиует ряд методов умножения, основанных на суммировании фупп часгных произведений с последующим объединением сумм вместе с пер^нсюами ты получения произведения. Например, четные произведения фуппируюгся по три и подаются па входы цепочки сумматоров. Выходы цепочки суммато­ ров подключаются к регистрам, запоминающим отдельно получившиеся сумму и переносы в дру1 ие группы. Выходы этих регистров объединяются в группы по 1ри и !юдключа10тся уже к другим сумматорам. В конце цепочки складываиэтся голько сумма и пе}>еносы Д1!я слагаемых. Такая раздельная обработка промежу­ точных сумм и перепсюов требует так называемого «дерева сумматоров». ПодоГ)И1,п1 мсюдумпожсиня использован в вымислпгельпых машинах IBM-360.

tymeciRyior пжже ускоренные методы умножения, основанные на иснолыоиапии м;прип (громсжуточных результатов. Рассмотрим схему умможеиия пл примере двух пятиразрядных чисел:

А - a5«4"3"2^i

a^h^a^h^a^h^ajh^ciyh^ С = с,.

')гу схему умножения можно представить также в виде матрицы

(lafui. 5.10).

Каждый элемент э'юй матрицы равен О или 1. Произведение двух чисел можно HOjryiHrb, если суммировать элементы матрицы в следующем порядке:

a^h, а,Ь, a,hi

a.h,

+

а.Ь,

133

5 Умнп жение чисел на двоичных сумматорах

Так как при суммировании но столбцам складываются только О и I, операнию сложения можно выполнить с помощью счегяиков. Однако при значигельном числе разрядов сомножителей потребуются счетчики с боль­ шим количес7вом входов и выходов, что существенно увеличивает время суммирования. Но этот принцип умножения можно реализовать таким об­ разом, что количество входов счетчиков на каждом этапе будет не больше трех. Значит, для этих целей можно использовать одноразрядные двоичные полусумматоры и сумматоры.

Наиболее известны среди матричных алгоритмов умножения алго­ ритмы Дадда, Уоллеса, матричный и ajuopnTM с сохранением перено­ сов. На рис. 5.4 представлена структурная схема множительного уст­ ройства для реализации матричного алгоритма, а на рнс. 5.5 — схема, с noMouibio которой может быть реализован алгоритм Дадда. Как видно из рисунков, алгоритмы отличаются друг от друга не только i руппировкон частных произведений, но и количеством ступеней преобразо­ вания: для матричного алгоритма количество ступеней преобразования равно четырем, т. е, на единицу меньше числа разрядов сомножи1елен, а для алгоритма Дадда — трем. Но с другой стороны, группировка раз­ рядов но методу Дадда требует более сложного устройства управления операцией умножения.

Реализация матричных методов выполнения операции умножения требуег большего количества оборудования, чем методов последовательного анализа разрядов или групп разрядов множителя и дает больший выигрыш во времени. Однако в связи с широким развитием микроэлектронных и особенно больших интегральных схем (БИС) ограничения но количеству оборудования становятся все менее строгими, поэтому рассмотренные вы­ ше методы применяют на практике.

134

5.8 Матричные методы умио.жения

a^bf agb, Ojbg О/^Ь, а^Ь^ a^b, a,bf a,b, a,b,

FLffJf~Gi] r t O гВ 1

1-1SM Pp-ISMli J SM I-

r i H r r & P,

Рис. 5.4. C"i рук1ур11ая схема матричного умножителя

a,i,

a fig

дЖ

O j ' j

a,i.

ff,6, Ofis

Рис. 5.5. 1'гр>к!урпая схема М1Гожи1ельмого \с1роиства с laiioMHiiamieM переносов

135

5\мн(}.ж-€ние чисел иа двоичных сумматорах

5.9.Методы параллельного умножения с нснользованнем

итеративных структур

Время, затрачиваемое на выполнение операции умножения, можно су­ щественно уменьшить, воспользовавшись методами параллельного умноже­ ния. Конечно, методы последовательного выполнения операции обеспечива­ ются более простыми схемами. Однако в конкретной практике существует множество задач, для решения которых отводится весьма мало времени. Э^го задачи, выполняемые с использованием метода быстрого преобразования Фурье, матричные задачи и другие задачи, решаемые в реальном масштабе времени. Поэтому, несмотря на то, что параллельные умножители гораздо сложнее и дороже устройств, построенных на традиционных методах умно­ жения, разработчики все чаще обращаются к созданию именно параллельных структур'. При этом очень широко используются так называемые ячеистые (cetUilar) или итеративные элементы. По сун^еству, с помоп1ью итсроишных элементов гшраллельно образуются несколько частных произведений с соогвегствующими весовыми коэффициентами, которые тут же суммир) югся, и определяется полное произведение.

Типовой итеративный элеменг (ТИЭ) представлен на рис. 5.6*. Функ­ ционально ТИЭ может состоять из схемы U и полного сумматора SM с со­ ответствующими входами для множимого А, множителя В, нредыдун(С1о

Параллельный умножитель для четырехразрядных двоичных чисел представлен на рис. 5.7. Каждый ТИЭ, представленный в cipyKiype на рис. 5.7, служит для получения одного частного произведения, к которому прибавляются частные произведения, имеющие одинаковый с ним весовой коэффициент. Полученная сумма 5, подается на следующий элемент того же веса, а перенос С, — на соседний слева элемент.

В первой советской ЭВМ «Стрела» было реализовано г1араллелыюе миожигельпое >с!- ройстио. осгговапиое па комбиианиоипых схемах, что по ICM прсмеиам являлос!, ncpwioni.iM ретепием.

Наибольший вклад в создание и разработку итеративных crp>Kiyp внесли американ­ ские специалисты Дж, Спришер. И. Алфке. Д. Лграваль и др.

136

5 9 Методы параллельного умно.ж-е/шя с использованием итеративных структур

S'i.f Ay

\

с, с

i?

Рис. 5.6. Схема типового итеративного элемента

Достоинство игератив1гых лот ических струтстур состоит и в том, что они позволятот одновременно с умножеттием выполнять операцию сложения.

Основттая TTpoGjTCMa, решаемая при проектировании итеративных структур с ттомощьто технологии интегральных схем, состоит в том, сколь­ ко функциоиа1тьных элементов можно разместить на одноти кристалле. По­ этому первьте итеративттые структуры были реализованы на кристаллах, вмещавших 4 x 2 двоичттых разряда (бита). Развитие технологии производ­ ства самих интегральттьтх схем позволяет уже сегодня создавать на одном кр11с1а1тле структуры тта 16x16 битов и более.

137

3.Умиож'ение чисел на двоичных сумматорам

5.10.Систолический метод вычислении

Сущность систолического метода вычислений состоит в том, что в так называемых систолических процессорах информация «прогоняется через параллельные магистрали подобно тому, как сердце перекачивает кровь но системе кровообращения»'. В традиционных процессорах и ите­ ративных структурах информация продвигается посимвольно через един­ ственный процессорный элемент. Систолические процессоры содержат динамические перестраиваемые матрицы элементов, которые принимают потоки данных и пропускают каждый поток через определеннуго магист­ раль, содержащую отдельные процессоры. Изменять информационные магистрали в систолических процессорах значительно проще, чем в дру­ гих параллельных структурах.

4l/V

Рис. 5.8. Схема систолических вычислений

Рассмотрим работу систолического метода на примере перемножения двух двумерных матриц 3x2 и 2 x 2 . Необходимая для этого гфимера сис­ толическая структура представлена на рис. 5.8, «, б. Элементы матрицы Л поступают слева сверху, а матрицы В — справа сверху. Стрелками покача­ ны направления движения информации. Обработка матриц осуществляется несколькими последовательными шагами. Все ячейки этой структуры рабо­ тают одновременно. На рис. 5.8, а показан третий шаг процесса перемно­ жения матриц. На этом шаге получено произведение «,, -бц (нижняя час1ь верхнего элемента), оно будет сложено с произведением «,2 •/'21' элементы

Название метода дано его создателем проф X. Т. Куном из Универси!е1а KopneiH- MejfJiOHa(Cl-UA).

138

Задание для самоконтроля

которого поступили В верхнюю часть процессора. Пустая ячейка еще ие получила никакой информации. На рис, 5.8, б показан четвертый шаг, в ре­ зультате которого появляется первый элемент полного произведения мат­ риц С|| =а^2 •/'21 +'^11 '^i\- В^*^** процесс занимает шесть шагов. Сложение и перемножение символов матриц продолжается до тех пор, пока все симво­ лы не пройдут через систолический процессор, формируя в его ячейках символы матрицы-результата.

Задание для самоконтроля 1. иеремпожи1ь на сумматоре прямого кода числа Л = -0,1100011 и В=:-0,ШП10К

количесгиа разрядов множителя числа Л = --0,100000001 и В = 0,011001110.

6.11еремножи1ь числа А =0,11001101 и В = 0,1(КЮ1100, использовав промежуточную систему счисления с q - 2'* с одновременным анализом четырех разрядов множителя.

7.Персмножигь числа /1=0,110П01 и В = 0,1000111, используя формулу АВ = 2АВ/2,

если В - четное; АВ- 2А{В-\)/2 + А , если В— нечетное.

8. Умножигь числа 4 = O.fOOiOl• 2^ и В =0,110001-2"', если задана разрядность: семь двоичных разрядов со знаком для мантиссы и четыре двоичных разряда со знаком для по­ рядка

139

6. ВЫПОЛНЕНИЕ ОПЕРАЦИИ ДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ НА ДВОИЧНЫХ СУММАТОРАХ

6.1, Методы деления двоичных чисел

Деление двоичных чисел во многом аналогично делению десжичнььч чисел. Процесс деления состоит в том, что последовательно разряд за разря­ дом отыскиваются цифры чш;тного путем подбора с последующим умноже­ нием этой цифры на делитель и вычитанием это! о произведения из делимого.

Из множества разных методов выполнения операции деления рассмогрим наиболее распространенные.

Прюжде всего это — «школьный» алгоритм деления, заключаюН;ЕИЙСЯ В том, что делитель на каждом шаге вычитается столько раз из делимого (начи­ ная со старших разрядов), сколько это возможно для гюлучения наименьшегчз пoлoжи^eJtьиoro остатка. Тогда в очередной разряд частного записывается цифра, равная числу делителей, содержащихся в делимом па данном uiai е. Та­ ким образом, весь процесс деления сводится к операциям вычитания и сдви1 а.

Другой метод выполнения операции деления заключаеася в умножении делимого на обратную величину делителя. Здесь возникает новая опера­ ция — вычисление обратной величины, осуществляемое но ичвесрным приближенным формулам (например, разложением в биномиальный ряд Ньютона и г. II.). В этом случае в состав команд машины должна входи !ь спеш'альная операция нахождения обратной величины.

К наиболее распроС1раненнь1м методам выполнения операции деления относится также метод, заключающийся в использовании приближенной формулы для нахождений частного от деления двух величии. Ог мего/va умножения делимого на обратную величину он отличается только гем. ню частное определяется по некоторой формуле, которая сводился к выполне­ нию операций сложения, вычитания и умножения.

Фактически два последних метода пригодны для использования в спе­ циализированных машинах, в которых операция деления встречаегся но часто и ее целесообразно реализовать программным путем.

В универсальных вычислительных машинах, как правило, рсализуекя разновидность «школьного» алгоритма деления.

140