Основы информатики_Савельев А.Я_Учебник_2001

8 I Кодирование информации как средство обеспечения контроля

ДОЛЖНЫ быть предусмотрены меры для создания системы обнаружеиия воз­ можной ошибки, а с другой стороны, должны быть проработаны меры, позволяющие исправить ошибки. Эти функции следует возложить на сис­ тему контроля работы цифрового автомата.

Система контроля — совокупность методов и средств, обеспечиваю­ щих определение правильности работы автомата в целом или его отдель­ ных узлов, а также автоматическое исправление ошибки. Ошибки в работе цифрового автомата могут быть вызваны либо выходом из строя какойлибо детали, либо отклонением от нормы параметров, например измене­ нием памряжепия питания или воздействием внешних помех. Вызванные этими нарушениями ошибки могут принять постоянный или случайный характер. Постоянные ошибки легче обнаружить и выявить. Случайные ошибки, обусловленные кратковременными изменениями параметров, наи­ более опасны, и их труднее обнаружить.

Полому система контроля должна строиться с таким расчетом, чтобы она позволяла обнаружить и по возможности исправить любые нарушения. При тгом надо различать следующие виды ошибок результата:

1)возникающие из-за гюгрешиостей в исходных данных;

2)обус;ювлеиные методическими погрешностями;

3)гюявляющиеся из-за возникновения неисправностей в работе машины. Первые два вида ошибок не являются с^ъектом для работы системы

коифоля. Погрепшости перевода или представления числовой информации в разрядной сетке автомата приведут к возникновению погрешности в ре­ зультате ре!11еиия задачи. Эту погрешность можно заранее рассчитать и, зная ее максималь!^ую величину, правильно выбрать длину разрядной сетки машины. Меюдические погрешности также учитываются предварительно.

Проверка правильности функционирования отдельных устройств машины и выявление неисправностей можег осуществляться по двум направлениям:

профилактический контроль, задача которого — предупреждение пояш!ения возможных ошибок в работе;

()1гср<ч1ивиый контроль, задача которого — проверка правильности вы­ полнения маши1юй всех операций.

Решение всех задач контроля становится возможным только при нали­ чии определенной тбыточиоспт информации. Избыточность может быть coijtiina JHiGo апмарагиыми (схемными) средствами*, либо логическими или И1!(|)ормациоммыми средствами.

(Чсмпая н1Г)1.1[<)'!!юси. будс! рассматриваться в дисциплинах, в которых изучаются scipiiMciHii 'jBM li данной iлаве описаны методы логического контроля, ис110)!ьзу!ощие И1|фпрМП11И(Н!Г[\!<1 ШбМТОЧИОСИ..

181

8Контроль работы цифрового автомата

Кметодам логического контроля, например, можно отнести следую­ щие приемы. В ЭВМ первого и второго поколения отсутствие системы опе­ ративного контроля приводило к необходимости осуществления «двойного счета», когда каждая задача решалась дважды и в случае совпадения отве­ тов принималось решение о правильности функционирования ЭВМ.

Если в процессе решения какой-то задачи вычисляются тригонометри­ ческие функции, то для контроля можно использовать известные соотноше­ ния между этими функциями, например sin^ а + cos^ а = I . Если это соозHOiueHHe выполняегся с заданной точностью на каждом шаге вычислений, то можно с уверенностью считать, что ЭВМ работает правильно.

Вычисление определенного интеграла с заданным шагом интегрирова­ ния можно контролировать сравнением полученных при этом результатов с теми результатами, которые соответствуют более крупному шагу. Такой «сокращенный» алгоритм даст, видимо, более грубые оценки и по существу требует дополнительных затрат машинного времени.

Все рассмотренные примеры свидетельствуют о том, что такие методы контроля позволяют лишь зафиксировать факт появления ошибки, но не определяют место, где произошла эта ошибка. Для оперативного контроля работы ЭВМ определение места, где произошла ошибка, т. е. решение зада­ чи поиска неисправности, является весьма существенным вопросом.

8.2. Основные понятия теории кодирования

Задача кодирования информации представляется как некоторое преоб­ разование числовых данных в заданной системе счисления. В частном cjiyчае эта операция может быть сведена к группированию символов (пред­ ставление в виде триад или тетрад) или представлению в виде символов (цифр) позиционной системы счисления. Так как любая позиционная сис­ тема не несет в себе избыточности информации и все кодовые комбинации являются разрешенными, использовать такие системы для контроля не представляется возможным.

Систематический код — код, содержащий в себе кроме информацион­ ных контрольные разряды.

В контрольные разряды записывается некоторая информация об ис­ ходном числе. Поэтому можно говорить, что систематический код обладаег избыточностью. При этом абсолютная избыточность будет выражаться ко­ личеством контрольных разрядов к, а относительная избыточность — от­ ношением к/п , где п = т + к — общее количество разрядов в кодовом сло­ ве (т — количество информационных разрядов).

182

8 2. Основные понятия теории кодирования

Понятие корректирующей способности кода обычно связывают с воз­ можностью обнаружения и исправления ошибки. Количествднно корректи­ рующая сгюсобность кода определяется вероятностью обнаружения или ис­ правления ошибки. Если имеем /г-разрядный код и вероятность искажения одного символа р, то вероятность того, что искажены к символов, а остальные п-к символов не искажены, по теореме умножения вероятностей будет

Число кодовых комбинаций, каждая из которых содержит к искажен­ ных элементов, равна числу сочетаний из п по к:

С*= . (8.2)

"к\{п-к)\

Тогда полная вероятность искажения информации

стей имеет вероятность искажения одного символа. Следовательно, основное внимание нужно обратить на обнаружение и исправление одиночной ошибки.

Корректируюш,ая способность кода связана также с понятием кодового расстояния.

Кодовое расстояние' d{A, В) для кодовых комбинаций А и В опреде­ ляется как вес третьей кодовой комбинации, которая получается поразряд­ ным сложением исходных комбинаций по модулю 2.

Вес кодовой комбинации V{A) — количество единиц, содержащихся в кодовой комбинации.

равный кодовому расстоянию для Л и В: V{C) = d(A, B) = Y,<^,=(> • Ответ d{A.B) = b.

Эго определение совпадает с понятием кодового расстояния по Хзмингу. Поэтому в теории кодирования оно называется хэминговым расстоянием.

183

' Контроль работы цифрового автомата

Рассмотрим алфавит из восьми букв (табл. 8.1). Ясно, что при обычном (не учитывающем статистических характеристик) кодировании для пред­ ставления каждой буквы требуется три символа.

Используя формулу (i .6), вычислим энтропию набора букв:

(2) = ^ 2 p ( z , ) l o g p ( z , ) » 2 , 7 6

(=1

И среднее число симво;юв на букву

4р = ЕР(г,)и(2,)»2,84,

где n{z^) — число символов в кодовой комбинации, соответствующей букве z,. Значения z и ^р не очень различаются по ^личине.

Рассмотренная методика Шеннона-Фано не всегда приводит к одно­ значному построению кода. Ведь при разбиении на подгруппы можно сде­ лать большей по вероятности как верхнюю, так и нижнюю подгруппу.

Множество вероятностей в предыдущей таблице можно было разбить иначе (табл. 8.2).

При этом среднее число символов на букву оказывается равным 2,80. Таким образом, гюстроенный код может оказаться не самым лучшим. При построении эффективных кодов с основанием q>2 неопределенное!ь ста­ новится еще больше.

От указанного недостатка свободна методика Д. Хаффмена. Она гаран­ тирует однозначное построение кода с наименьшим для данного распреде­ ления вероятностей средним числом символов на букву.

186

S 4 Кодирование no методу четности-нечетности

При проверке на четность сумма ^ (а, + Л,) по соответствуюш,им строкам и

столбцам изменится для значений, которые содержат элемент a,g, т. е. это будет четвертая сверху строка и третий слева столбец. Следовательно, на­ рушение четности по этой строке и столбцу можно зафиксировать, что в конечном счете означает обнаружение не только самой ошибки, но и места, где возникла ошибка. Изменив содержимое отмеченного разряда (в данном случае а^^) на противоположное, можно исправить ошибку.

Пример 8.1. Определить и исправить ошибку в передаваемой информации вида

Для ком I роля испольчоваи. метод четности по строкам и столбцам (контрольный стол-

Л|„ =0. Л,| ==0:Л,г =0 Нронсрка нока)ьтас1, чго ошибка возникла в разряде второй строки и второю слева

сюлвци (.'лсдонагельио, разряд, содержащий ошибочную информацию, находится на пере­ сечении шорой строки и второго столбца.

Ответ

1001110 0

1010101 0 OiOiiOi 0 lOiOiiO 0 llOlOil i OOOiOli

Koinpojib [10 методу четности-нечетности широко используют в ЭВМ для котроля записи, считывания информации в запоминающих устройствах на магнитых носигелях, а также при выполнении арифметических операций.

8.5. Коды Хэмиига

Код1>г, 11редложеи[1ые американским ученым Р. Хэмингом, способны ие тлько обнаружить, но и исправить одиночные ошибки. Эти коды — сис­ тематические.

189

S Контроль работы цифрового автомата

Предположим, что имеется код, содержащий т информационных раз­ рядов и к контрольных разрядов. Запись на к позиций определяется при проверке на четность каждой из проверяемых к групп информационных символов. Пусть было проведено к проверок. Если результат проверки сви­ детельствует об отсутствии ошибки, то запишем О, если есть ошибка, то за­ пишем I. Запись полученной последовательности символов образует дво­ ичное, контрольное число, указывающее номер позиции, где произошла ошибка. При отсутствии ошибки в данной позиции последовательность бу­ дет содержать только нули. Полученное таким образом число описывает и = ( т + * + I) событий. Следовательно, справедливо неравенство

Определить максимальное значение т для данного к можно из сле­ дующего:

Определим теперь позиции, которые надлежит проверить в каждой из к проверок. Если в кодовой комбинации ошибок нет, то контрольное число содержит только нули. Если в первом разряде контрольного числа стоит I, то. значит, в результате первой проверки обнаружена ошибка. Имея табли­ цу двоичных эквивалентов для десятичных чисел, можно сказать, что, на­ пример, первая проверка охватывает позиции 1, 3, 5, 7, 9 и т. д., вторая про­ верка — позиции 2, 3, 6, 7, 10.

Теперь нужно решить, какие из позиций целесообразнее применить для передачи информации, а какие — для ее контроля. Преимущество исполь­ зования позиций I, 2, 4, 8, ... для контроля в том, что данные позиции встречаются только в одной проверяемой группе символов.

В таблице 8.5 представлены примеры кодирования информации по ме­ тоду Хэминга для семиразрядного кода.

Как видно из таблицы 8.5, в этом случае м = 7, т = 4, А - 3 и контроль­ ными будут разряды I, 2, 4.

190