Основы информатики_Савельев А.Я_Учебник_2001

5 5 Умио-жение чисел на двоичном сумматоре обратного кода

11оследователы4ость действий, проводимых над числами, показана в таблице 5 А Ответ С =/JS = O.iOOOU И 11.

1 аким образом, на сумматоре дополнительного кода в процессе пере­ множения машинных изображений операндов получаем одновременно зна­ ковую и цифровую части произведения.

S.S. Умножение чисел на двоичном сумматоре обратного кода

Рассмотрим правила умножения операндов, заданнкх в обратном коде.

Произведение обратных кодов сомножителей равно обратному коду peiy.'ihwania только в случае положительного множ^ителя.

Пусть множимое А = [А]^, а множитель В > О . Тогда

По теореме о сложении обратных кодов в правой части данного урав­ нения получается обратный код результата.

5. Умнолсеиие чисел на двоичных сумматорах

Следовательно, умножение на сумматоре обратного кода также заклю­ чается в анализе разрядов множителя, и если оказывается, что очередной разряд множителя равен единице, то к содержимому сумматора добавляет­ ся обратный код множимого.

Пример 5.5. Умножить на сумматоре обратного кода (структурная схема взяча из при­

122

5 5 Ум110.}1сение чисел на двоичном сумматоре обратного кода

Пример 5.6. Умножить на сумматоре обратного кода (используется метод 2 структурная схема из примера 5-1) числа ^ = -0.П0101 и В = -0,101000.

1' е иг е и и е . Сначала записываются машинные изображения чисел: | Л Й =11,001010; 18)^=11,010111;

ЙС =00.110101.

!1ос,1!сдоват ejii.Hoci ь денствин. проводимых над числами, показана в таблице 5.6. Опыст ,1/i = 00,10(1010

Таким образом, в общем случае на сумматоре обратного кода произве­ дение 1ю;гучае1ся сразу со знаком и длиной в и разрядов, так как на послед­ нем шаге умножения прибавляются числа разных знаков, из-за чего нельзя к результату приписать так называемый «хвост», хранящийся в регистре множителя.

123

5.Ум!ю.жеи11е чисел на двоичных сумматорах

5.6.Метод сокращенного умножения

Вспециализированных машинах иногда иснольчуют мегод сокран^снного умножения, начиная со старших разрядов. Особенность этого метода состоит в том, что в произведении получается только п старших разрядов. Существуют разные пути выполнения сокращенного умноже1гия. Рассмот­ рим наиболее распространенные.

Внекоторых машинах реализован метод, который можно объяснить с помощью следующей схемы.

^0 0 0 0 0 0 0

Таким образом, ^В = 0,01110- 2 ' .

Из этой схемы видно, что произведение гюлучается, если складывать только старшие два разряда от сумм, иолучениь!х на каждом ша|с умноже­ ния (показано справа). В этом случае достаточно иметь только н-разрядный сумматор. Однако следует учитывать, что для получения п точных знаков в произведении необходимо ввести дополнительные разряды.

124

5 6. Метод сокращенного умномгения

Предположим, что все разряды, стоящие справа от черты, отбрасыва­ ются. Если суммировать только п разрядов, то вносится погрешность, так как не учитываются переносы из отброшенных разрядов в разряды слева от вертикальной черты. Эти переносы могут распространиться на к разрядов слева от черты. Предполагается, что каждый разряд дает перенос, равный единице в каждом такте суммирования. Пусть все «, =1, Тогда количество единиц переноса из отброшенной части будет равно

Вдиницы переноса распространятся на х разрядов сумматора, и произ­ ведение будет содержать только п - х точных разрядов.

Следовшсльно, чтобы получить результат с точностью до п разрядов, необходимо выделить п + х разрядов в сумматоре. Количество дополни­ тельных разрядов при этом можно приближенно оценить величиной

5.7.Ускорение онерацнн умножения

Ипро1раммах решения различных задач операции умножения встре­ чаются достаючно часто. Поэтому методам выполнения умножения, его ускорению и рациональному построению множительных устройств всегда уделяется большое внимание.

По времени вьтнолттения оггерацию умножения относят к длинным операцттям. Гак, затраты времени на умножение двух чисел в прямом коде М0Ж1Ю оцеттить с;тедующей формулой (для случая последовательного ана­ лиза разрядов мтюжителя):

сумми1ювания на сумматоре; р, — вероятность появления единицы в раз­ рядах м1И1ЖИ!еля; п - количество разрядов множителя.

125

5У MHOweiiue чисел на двоичных сумматорах

Аналогичные формулы можно написать и для других методов ум­ ножения.

Анализируя (5.12), можно наметить следующие пути сокращения вре­ мени умножения: уменьшение затрат времени на сдвиг и суммирование операндов; уменьшение количества слагаемых в формуле, т. е. уменьшение разрядов множителя //. Этого можно добиться логическими или аппарат­ ными (схемными) средствами. В дальнейшем тексте будет обращено вни­ мание на логические средства.

Рассмогрим возможности изменения величин р, и /^^, .

Наиболее простой способ изменения величин р, и z^.^, — пропуск так­ тов суммирования в случаях, когда очередная цифра множителя равна ну­ лю. Э ш г способ может бьпь применен для систем счисления, содержащих нуль как одну из цифр, например, для систем (О, I), (О, I, Т) и т. п. Исюпочением в эгом отношении являются симметричные системы ( I , 1 ) и им 1Юдобпые. Однако от системы ( I , I ) можно осуи(ествить переход к cncieMe (0. I) HJUf (О, 1, Т ) , используя соотношения

исгюльзовать также наличие последователыюстей О или I (или Т) . Напри­ мер, последовательность вида 0100.. О дает возможность сразу осущесг-

к

вить сдвиг на к разрядов, не проводя операции, а последовательность вида

. . . 0 1 1 . . . ! переходом к избыточной системе (О, I, Т ) может быть заменена

к

на последовательность вида ...fOO... 1 , что также приводит к уменьшению

к

количества операций сложений.

1акнм образом, переход от одной разновидности двоичной системы счисления к другой при преобразовании множителя позволяет получить выигрыш во времени выполнения операции в целом.

При этом возникают определенной длины последовательности нулей или единиц, что приводит к необходимости одновременного анализа не­ скольких разрядов множителя и сдвигу на произвольное MHCJVO разрядов.

Рассмотрим простую иллюстрацию этого тюложения. Пусть множитель S = 0,011110001 HOI 11000 необходимо преобразовать таким образом, что-

126

5. 7 Ускорение операции умножения

бы получить меньшее количество единиц вето изображении. Если предста­ вить этот множитель в системе счисления (О, 1, Т ), то получим наименьшее число единиц в его изображении: В = 0,1000Т00100Т ЮОТООО (содержит только шесть единиц вместо десяти). Проведя замену 11 на О 1 , получим окончательно В = 0,1000Т001000ТООТООО.

Чтобы оценить относительную эффективность того или иного логиче­ скою меюда ускорения умножения, можно воспользоваться формулой

где /;; число шагов tipn выполнении операций yмнoжe^жя ускоренным мего/1ом (количество ipynn для анализа); /;,, р^ —- вероятности появле­ ния в anajHnnpycMOH /-и илиу-й группе разрядов; о —коэффициент эф­ фективности.

l:'cjHi а < 1 . 10 применяемый метод дает эффект; если же о > I — эф­ фекта не будет.

Группировка разрядов множителя и анализ этих групп позволяют иред1тожп11> несколько мсюдов ускорения операции умножения.

Анализ двух разрядов множителя одновременно. На основании вышензложетиюю можно составить следующие правила преобразования раз­ рядов множителя: В == О, /),, /т^ ..,6„.

Разбттенис множителя на грут1пы длиной к разрядов означает переход к новой СИС1СМС счисления с основанием g = 2*. Если при этом удается сокра1игь количество элементарных действий, выполняемых при операции умножения (сложений и сдвигов), то операция умножения ускоряется. Рассмогрим метол "а примере одновременного анализа двух разрядов множиlejrfl. начиная с младших разрядов.

()с1товой для правил преобразования разрядов множителя служат слелуюптие соображения.

Комбинаттии вида 00 и 01 не преобразуются. Комбинация вида 10 означаег, что необходим Т1редварительно сдвиг множимого влево, сложение и затем сдвиг содержимого сумматора вправо на два разряда. Комбинация вида II замет(яегся па комбинацию вида 101, что означает запоминание единицы для следующей анализируемой нары цифр множимого и вычита­ ние па данном таге с последующим сдвигом на два разряда.

127

5\ .ичо.мсение чисел на двоичных сумматорах

Втаблице 5.7 представлены правила преобразования множителя для системы (0. I. Т ).

В результате преобразования множителя меняегся характер денег вин, которые должны выполняться при операции умножения, т. е. имеют место операции сложения и вычитания. Следовательно, такой способ умножения может быть реализован только на сумматорах oбpaт^югo или дополнитель­ ного кода. Основной выигрыш во времени получается за счет TOI о. что на каждом шаге умножения проводится либо сложение, либо вычитание мно­ жимого и сдвиг на два разряда одновременно. Особенность — ;шнолнительный сдвиг множимого в противоположную сторону в двух случаях т восьми и запоминание единицы для передачи в следующую пару разрядов множителя. Естественно, это потребует усложнения устройства мерного управления умножением.

Пример 5.7. Умножить два числа с одноврем'^нным анализом двух разрядов мпожн1еля. начиная с младших разрядов па сумматоре дополнительного кода; /(=0 . 10011001 . В = 0.10П0110.

PeiueHHe. При умножении чисел потребуются следующие значения: [/!]" =00.10011001 :

[А\^ = 11.01100111; 1^1," =01.00110010-

Ирсобра^уем мпожи1ель всоо1вс!СГВин с irpaBHjraMи таблицы 5,7. [В]„ =01.0ТОТ0110,

128

5.7 Ускорение операции умнож-ения

Всумматоре выполняются следующие действия

Отпет ( = 0 , 0 1 101 1001 10001 10

Как видно из примера 5,7, количество шагов при умножении на едини­ цу иревьниает количество пар разрядов в цифровой части множителя, так как предусматривается возможность появления 1 в знаковой части,

11ри одновременном анализе двух разрядов, начиная со старших, пра­ вила преобразования существенно изменяются. Прежде всего на характер действий влияет значение соседнего справа разряда по отношению к анализир>емой царе разрядов. Если его содержимое равно нулю, комбинации вида 00 м 01 выполняются, как в предыдущем случае. Комбинация вида 10 заменяется равнозначной ей комбинацией вида П О , что означает предва­ рительный сдвиг множимого и вычитание его. Комбинация вида 11 заменя­ ется комбинацией вида 1 0 1 , что означает вычитание множимого на данном шаге, В случае, если значение соседнего справа разряда равно единице, нронсходн! изменение преобразуемых состояний и выполнение действий в соответствии с таблицей 5,8,

При этом анализ надо начинать с пустой пары.

129

Ответ С = 00.0101100011101101.

130