кинематика / 1_4
.doc1.4. Задание движения МТ с помощью
полярных координат
1.4.1. Уравнения движения МТ
Пусть
МТ перемещается по плоскости. Введем
полярную систему координат: точка О –
полюс, ось Ох – полярная ось, угол
–
поворот
радиуса-вектора
от
оси Ох (рис.11).
Движение МТ по плоскости в полярных координатах определяется расстоянием r от полюса О до точки В и полярным углом , которые являются функциями времени (уравнения движения):
(1.30)
Функция r(t)>0 всегда, а функция (t)>0, если угол откладывается от полярной оси до r против хода часовой стрелки. Эти функции должны быть однозначными, непрерывными и дважды дифференцируемыми.
Рис. 11
1.4.2. Траектория МТ
Уравнения (1.30) являются также уравнениями траектории МТ в параметрической форме, параметром является время t. Для того чтобы получить уравнение траектории в явной форме, необходимо из (1.30) исключить параметр t: f (r,)=0.
1.4.3. Связь между векторным, декартовым координатным способами задания движения МТ и
полярными координатами
Рассмотрим движение МТ в плоскости.
Введем два единичных вектора:
,
который направлен от полюса О к точке
В, и
,
который направлен перпендикулярно к
в плоскости движения в ту сторону, чтобы
поворот от
к
был виден против хода часовой стрелки
(рис. 12).
Для
радиус-вектора
можно записать
, (1.31)
а для декартовых координат:
x=r cos , y=r sin . (1.32)
1.4.4. Скорость МТ
На основании формул (1.2) и (1.31) получим:
.
(1.33)
Рис. 12
Используя формулу (1.20), можно записать:
. (1.34)
Подставив (1.34) в (1.33), получим:
. (1.35)
Здесь трансверсальная составляющая скорости:
,
(1.36)
;
(1.37)
радиальная составляющая скорости:
,
(1.38)
.
(1.39)
Итак (рис.12),
.
(1.40)
1.4.5. Ускорение МТ
На основании формул (1.3) и (1.35) получим:
.
(1.41)
Используя формулу (1.20), можно записать:
. (1.42)
Подставив соотношения (1.34) и (1.42) в выражения (1.41), получим:
.
(1.43)
Рис. 13
Здесь трансверсальная составляющая ускорения:
,
(1.44)
;
(1.45)
радиальная составляющая ускорения:
,
(1.46)
.
(1.47)
Итак (рис. 13),
(1.48)