Итак: |
|
∆n=nf(υ)∆υ |
(13.6) |
или перейдя к пределу |
|
dn=nf(υ)dυ, |
(13.7) |
где f(υ) – функция распределения. |
|
Трудность вычисления (13.7) – в |
нахождении |
именно f(υ). Физический смысл f(υ) в том, что это отношение числа молекул, скорости которых лежат в определенном интервале скоростей, к общему числу молекул в единичном интервале скоростей: dv = 1, т.е.
f (υ) dn |
|
n |
(13.8) |
|
Таким образом, f(υ) – имеет смысл вероятности. То есть f(υ) показывает, какова вероятность любой
молекулы газа в единице объёма иметь скорость, заключённую в единичном интервале, включающем заданную скорость υ. В этом случае f(υ) называют плотностью вероятности.
3. Функция распределения Максвелла
Мы воспользуемся результатами этого вывода. Скорость – векторная величина. Для x-ой составляющей скорости dnx= nf(υx)dυx, тогда
|
dn |
|
|
1 |
m |
1 |
|
mυx |
|
mυx |
(13.8) |
|||
|
|
|
2 |
|||||||||||
f (υx ) |
|
x |
|
|
|
|
|
|
e 2kT |
A1e 2kT , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ndυx |
|
π |
2kT |
|
|
|
|
|
|||||
А1 – постоянная равная |
|||||||
|
1 |
1 |
|
||||
|
m 2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
π |
2kT |
|
|||
Графическое изображение функции показано на рис 13.1. Видно, что доля молекул со скоростью υх =
0 не равна нулю.
Рис 13.1
При υх = 0, f(υх=0) = А1 (в этом физический смысл
постоянной А). Приведённое выражение описывает распределение молекул газа по x-ым компонентам скорости.
Очевидно, что и dny |
|
|
mυ2y |
|
dn |
|
|
|
mυz2 |
||
A e |
2kT |
и |
z |
A e |
2kT . |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ndυy |
1 |
|
|
|
ndυz |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x – компонента скорости лежит в интервале от υх до υх + dυх; y – компонента, в интервале
от υy до υy + dυy; z – компонента, в интервале от υz до υz + dυz будет равна произведению
вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности!
|
dnxyz |
A3e |
m xyz2 |
dυ |
dυ |
|
dυ |
|
, |
|
То есть |
2kT |
y |
z |
|||||||
|
||||||||||
|
n |
1 |
|
x |
|
|
(13.9) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Этой формуле можно |
дать |
геометрическое |
||||||||
истолкование: dnxyz – это число молекул в паралле- лепипеде со сторонами dυx, dυy, dυz, то есть в объёме dV = dυxdυydυz, находящемся на расстоянии v от начала координат в пространстве скоростей. Эта величина (dnxyz)
не может зависеть от направления вектора скорости. Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости.
Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых
|
заключены в интервале |
|
от υ до υ+dυ (рис. 13.2) |
|
по всем направлениям, |
Рис 13.2 |
и выпустить их, |
|
то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной dυ и радиусом υ. Этот шаровой слой складывается из тех параллелепипедов, о которых говориться выше.
Рис 13.3
Рис. 13.4 |
Рис. 13.5 |
Объём этого шарового слоя
d = 4 2d , |
(13.10) |
тогда общее число молекул в слое
|
n |
|
m |
|
3/ 2 |
mυ2 |
|
dn |
|
e 2kT dΩ. |
|
||||
|
|
|
|
|
(13.11) |
||
π3/ 2 |
|
|
|||||
|
|
2kT |
|
|
|
||
Отсюда следует закон Максвелла –
распределение молекул по абсолютным значениям скоростей:
dn |
|
4 |
m 3/ 2 |
mυ2 |
υ |
2 |
dυ, |
(2.3.3) |
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2kT |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
π 2kT |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dn |
|
– доля всех частиц единичного |
|||||||||||
|
где |
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объёма, скорости которых лежат в интервале |
||||||||||||||
|
|
υ dυ. |
от υ до |
|
|
|
|
|
||||||