На самом деле все молекулы движутся (и в сторону и на встречу друг другу), поэтому число соударений определяется средней скоростью движения молекул относительно друг друга.
По закону сложения случайных величин |
|
|
|||||||
υ |
|
υ2 |
υ2 2 υ2 |
υ |
|
2. |
(14.6) |
||
А так как λ |
υ |
, |
то получим |
|
1 |
|
. |
(14.7) |
|
n d |
2 |
2 |
|||||||
|
ν |
|
|
|
|
|
|
||
|
Так как p = nkT, то есть n |
|
p |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
kT |
|
|
|
||||||||||
|
|
kT |
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то |
|
|
|
|
,(14.8) то есть |
|
|
|
~ |
|
. |
||||
nd 2 p |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
p |
|||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||
|
Здесь можно заметить, что с учётом введения нами |
||||||||||||||
эффективного сечения молекулы S |
эфф |
= πd2 |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(14.9) |
|
|
|
|
|
|
Sэфф p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
Пример: при d = 3Å = 3 10 10 м, р = 1 атм, Т = 300 К, λ = 10 7 м. Т.к. λ = 10 7 м, то число столкновений
|
103 |
1010 |
Содержание |
ν 10 7 |
3. Диффузия газов
Диффузия – это распределение молекул приме- си в газе от источника.
Рис. 14.4.
Решаем одномерную задачу. Пусть в газе присутствует примесь с концентрацией n в точке с координатой х. Концентрация примеси зависит от
координаты х (рис. 14.4). |
dn r |
dn r |
|
dn r |
|
||
grad n dx i |
dy j dz k |
(14.10) |
|
– в общем случае. Так как у нас одномерная задача, то
grad n dndx
При наличии gradn, хаотическое движение будет более направленным – стремиться выровняться по концентрации и возникнет поток молекул примеси, направленных от мест с большей концентрацией к местам с меньшей концентрацией. Найдём этот поток.
Пусть в плоскости с координатой х находится единичная площадка S перпендикулярная оси х. Подсчитаем число молекул, проходящих через площадку в направлении слева направо (N+) и справа
налево (N ) – за время t (рис. 14.5).
Рис. 14.5
|
|
|
|
N = N ‘ – N |
'' |
(14.11) |
|
|
1 n' |
|
+ |
- |
|
||
N ' |
S |
N ' |
1 n'' S |
|
|||
|
6 |
1 |
|
_ |
6 |
1 |
(14.12) |
|
|
|
|
|
|||
где n1' концентрация молекул слева от площади, а n2''
концентрация молекул справа от площади.
Через поверхность S, будут пролетать молекулы, претерпевшие последнее соударение на различных расстояниях от S. Однако в среднем последнее соударение происходит на расстоянии от S, равном средней длине свободного пробега λ . Поэтому в качестве n1' разумно
взять значение n1(x- ), а в качестве n2'' |
– значение n1(x+ ). |
||
Тогда с учетом (14.11) |
|
|
|
N 1 |
S[n (x ) n (x )] |
||
6 |
1 |
1 |
(14.13) |
|
|
||
|
|
|
|
|
Поскольку очень мала, то из математического |
|
анализа известно, что |
и n1 (x ) n(x) dn тогда |
|
n (x |
) n(x) dn |
|
1 |
dx |
dx |
|
||
разность значений функций n(x), стоящую в квадратных скобках, можно представить в виде
n(x ) n(x ) dn |
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
|
Подставив это в выражение (14.13), получим, что |
|
||||
|
1 |
dn |
S |
|
(14.14) |
N |
3 |
|
|
||
|
dx |
|
|
(14.1) |
|
Сравнение выражения (14.14) с формулой |
|||||
показывает, что исходя из молекулярно-кинетических представлений, удается не только прийти к правильной зависимости Ni от dni/dx, но и получить выражение для
коэффициента диффузии D: |
|
1 |
|
|
|
D |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.15) |
|
Более строгий расчет приводит к такой же формуле, но с |
|||||
несколько отличным числовым коэффициентом. |
|
||||
N D dn , |
|
|
|
(14.16) |
|
|
dx |
|
|
|
|
или в общем случае (в трёхмерной системе) |
|
|
|||
|
|
|
м2 |
|
|
N = - D grad n |
|
D |
с |
(14.17) |
|
|
|
|
|
||
Уравнение Фика. Поток, направленный в сторону уменьшения концентрации, численно равен потоку через единицу площади в единицу времени при grad n = 1.
Содержание
4. Внутреннее трение. Вязкость газов
Рассмотрим ещё одну систему координат (рис. 14.6) υ от х. Пусть в покоящемся газе вверх, перпендикулярно оси х, движется пластинка со скоростью υ0, причём υ0 << υT (υT – скорость теплового
движения молекул). Пластинка увлекает за собой прилегающий слой газа, тот слой – соседний и так далее. Весь газ делится как бы на тончайшие слои, скользящие вверх тем медленнее, чем дальше они от пластинки. Раз слои газа движутся с разными скоростями, возникает трение. Какова же здесь природа трения? Ведь силы притяжения в газе малы!
Рис. 14.6
Например, в твёрдых телах силы трения имеют электромагнитную природу. Каждая молекула газа в слое принимает участие в двух движениях: тепловом и направленном.