Экзамен Физика 2 семетр / Lekcii_po_fizike_(Bogdanov)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Электростатика. 15.8

Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру, и считать, что они “размазаны” определенным образом в пространстве. Другими словами удобно заменить истинное дискретное распределении зарядов фиктивным непрерывным распределением. Такой подход позволяет существенно упростить расчеты, не внося в тоже время значительных ошибок. При переходе к непрерывному распределению, вводят понятие о плотности зарядов (линейной λ, поверхностной σ или объемной ρ):

С учетом эти распределений принцип суперпозиции может быть представлен в другой форме:

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Электростатика. 15.9

Зная вектор Е в каждой точке, можно представить электрическое поле наглядно с помощью линий напряженности, или другими словами линий вектора Е. Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота линий, была бы пропорциональна модулю вектора Е. Кроме того этим линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора Е.

По полученной картине можно легко судить о конфигурации данного электрического поля – о направлении и модуле вектора Е в разных точках поля.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Электростатика. 15.10

Линии Е точечного заряда, очевидно, представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен. Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. Линии нигде кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде (если заряд положителен), уходят в бесконечность, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде (если заряд отрицателен).

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Электростатика. 16.2

Выбор направления вектора n условен, его можно было бы направить и в противоположную сторону. Если имеется некоторая произвольная поверхность S то поток вектора Е сквозь нее

Ф EdS

S

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутой поверхности, нормаль принято брать направленной наружу области, области охватываемой этой поверхностью.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Электростатика. 16.3

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность обладает специфическим свойством: его величина пропорциональна электрическому заряду, расположенному внутри этой поверхности. Это утверждение составляет физический смысл теоремы Гаусса.

Доказательство.

1)Допустим, что в начале координат помещен точечный электрический заряд q. Напряженность электрического поля, созданного этим зарядом, описывается соотношением:

E

q r

4 0 r3

Окружим заряд q сферой радиуса r, центр которой совпадает с началом координат. Известно, что внешняя нормаль n к элементу поверхности dS сферы направлена по радиусу

n r r

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Электростатика. 16.4

Поток вектора E через поверхность сферы равен:

2)Пусть поверхность S является произвольной достаточно гладкой замкнутой поверхностью, причем начало координат - место расположения заряда q - лежит внутри поверхности S. Заметим, что

где α - угол между внешней нормалью n и радусом-вектором r точки, в окрестности которой расположен элемент поверхности dS; dΩ - элемент телесного угла, под которым виден элемент поверхности dS из начала координат.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Электростатика. 16.5

В этом случае прямое вычисление потока вектора E через замкнутую поверхность S приводит к результату

Здесь следует иметь ввиду, что для выпуклой замкнутой поверхности S величина d Ω>0 и суммарное значение интеграла в данном выражении равно 4π. Если поверхность S не является строго выпуклой, то для части поверхности cosα>0, а для части поверхности cosα>0, в этом случае d Ω является алгебраической величиной, но в результате все равно получается 4π.

Для случая, когда начало координат (т.е. точка расположения заряда q) лежит вне замкнутой поверхности суммарное значение Ω=0, поскольку видимая часть поверхности и невидимая из начала координат часть поверхности приводят к одному и тому же абсолютному значению телесного угла, но противоположных знаков.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Электростатика. 16.6

3)Реальное электростатическое поле обусловлено совокупностью точечных зарядов (принцип суперпозиции), для каждого из которых

соотношение Ф СEndS q

0

доказано для произвольной замкнутой поверхности S. Но тем самым доказана справедливость теоремы Гаусса для произвольного электростатического поля: поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен суммарному электрическому заряду, находящемуся внутри поверхности S, деленному на величину ε0.

Использование теоремы Гаусса в интегральной форме в отдельных случаях, отличающихся высокой степенью симметрии расположения электрических зарядов в пространстве, позволяет эффективно рассчитывать характеристики электростатического поля.