Soprotivlenie_materialov / 270800_62 (ПГС)-10-1234-2428 / 04. Конспект лекций

53

Полученная формула (6.9) носит имя русского ученого Д.И. Журавского. Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки,

испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.6, г), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dx, т.е. по оси x; по вертикальной оси - dz, т.е. по оси z; по оси y равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения на этой площадке определяются по формуле (6.4), а касательные напряжения - по формуле Д.И. Журавского (6.9). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через и , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dA, для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dA sin и dA cos , соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.6, г), получим:

x 0; z 0 ,

откуда будем иметь:

dA cos dA sin sin dA cos sin dA sin 0 ;dA sin dA sin cos dA cos cos dA sin 0 .

Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:

Определим ориентацию площадки, т.е. значение = 0 , при котором напряжение принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции от и приравняем ее нулю:

d 2 sin cos 2 cos 2 0 . d

Предполагая = 0 , получим:

tg2 0 2 .

Откуда окончательно будем иметь:

Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых г л а в н ы м и , а са-

ми напряжения г л а в н ым и н а п р яж е н и ям и .

Сопоставляя выражения и d , имеем: d

1 d ,

2 d

откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.

В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:

tg20

sin 20 ,

1 tg2 20

и формулы tg2 0 2 , определим главные напряжения, выражая из через и :

Полученное выражение имеет важное значение в теории прочности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 6.5.

Условие прочности по касательным напряжениям будет иметь вид:

Анализируя эпюры напряжений, можно отметить, что на продольной линии нормальные напряжения равны нулю, касательные напряжения достигают максимума, в крайних волокнах, наиболее удаленных от продольной линии, наоборот нормальные напряжения достигают наибольших по модулю значений, а касательные напряжения равны нулю. Расчетная практика показала, что нормальные напряжения, как правило, в несколько раз больше касательных. Поэтому имеет смысл проектировать сечения так, что в зоне действия больших напряжений находилось бы большая часть материала. Этому требованию отвечают сечения в виде двутавровых и швеллеровых прокатных профилей, а также различные коробчатые и кольцевые сечения (рис.

6.9).

Рис. 6.9

Вопросы для самопроверки

1.Что называется балкой?

2.Какой вид нагружения называется изгибом?

3.Какой изгиб называется чистым, поперечным?

4.Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении баки?

5.Как вычисляются поперечная и продольная силы в поперечном сечении балки?

6.Какие уравнения используются для определения значений опорных реакций?

7.Как проверить правильность определения опорных реакций?

8.Как формулируется гипотеза плоских сечений?

9.Что представляют собой нейтральный слой и нейтральная линия и как они расположены?

57

10.По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном сечении балки при чистом изгибе и как они изменяются по высоте балки?

11.Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность?

12.По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе?

13.Запишите формулу для определения касательных напряжений в поперечных сечениях балки при прямом поперечном изгибе.?

14.Какой вид имеют эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях прямоугольной и двутавровой формы?

15.Как находятся главные напряжения при изгибе?

16.Как направлены главные площадки на уровне нейтрального слоя и в точках, наиболее удаленных от этого слоя?

17.Что представляют собой траектории главных напряжений?

18.Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластичных материалов?

58

ТЕМА 7. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В БАЛКАХ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ Вопросы :

1.Линейные и угловые перемещения в балках.

2.Определение перемещений путем интегрирования уравнения изогнутой оси балки.

3.Метод начальных параметров.

7.1Линейные и угловые перемещения в балках при прямом изгибе

В предыдущей лекции были рассмотрены вопросы, относящиеся к расчету балок на прочность. Однако в больший случаев практического расчета деталей, работающих на изгиб необходимо также производить расчет их на жесткость.

Под расчетом на жесткость понимается оценка упругой податливости балки под действием нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать допускаемых величин. Для выполнения таких расчетов необходимо научиться вычислять перемещения поперечных сечений балки под действием любой внешней нагрузки. Кроме того, перемещения приходится определять и при расчете статически неопределимых конструкций (балок, рам, арок и т.д.).

Воснове теории деформации при изгибе лежат:

1.Гипотеза плоских сечений.

2.Учитываются деформации только от изгибающего момента, деформациями от поперечной силы пренебрегают как малыми.

Сучетом принятых допущений рассмотрим деформацию балки при прямом изгибе. Под действием внешних нагрузок, расположенных в одной из главных плоскостей балки, наблюдается искривление ее оси в той же плоскости, происходит так называемый прямой изгиб. Поперечные сечения при этом поворачиваются и одновременно получают поступательные перемещения (рис. 7.1).

z

x

Рис. 7.1

Искривленная ось балки называется упругой линией.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к недеформированной оси балки, называется прогибом балки в данном сечении и обозначается z.

Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями координаты x и их определение необходимо для расчета жесткости. Рассмотрим изгиб стержня

59

в одной из главных плоскостей например, в плоскости xz. Как показывает практика, в составе реальных сооружений стержни испытывают весьма малые ис-

кривления (zmax/l = 10 2 …10 3, где zmax - максимальный прогиб; l - пролет балки).

7.2Определение перемещений путем интегрирования уравнения изогнутой оси балки

В этом случае неизвестными функциями, определяющими положение точек поперечных сечений балки, являются z(x) и (x) = (x) (рис. 7.1). Совокупность значений этих параметров по длине балки образуют две функции от координаты х функцию перемещений z(х) и функцию углов поворота (х). Из геометрических построений (рис. 7.1) наглядно видно, что угол наклона касательной к оси х и угол поворота поперечных сечений при произвольном х равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать

(z) tg (z) y (z) . (7.1)

Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой z(х) выражается следующей формулой:

где Iу момент инерции поперечного сечения балки, относительно ее нейтральной оси;

Е модуль упругости материала; E Iу изгибная жесткость балки.

Уравнение (7.3), строго говоря, справедливо для случая чистого изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент Mу (х) имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

60

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота поперечного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно пологой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значения в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов z(х) и углов поворота (х), необходимо решить уравнение (7.3), с учетом граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (7.3), записанное для каждого участка, после интегрирования, содержит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.

Если балка имеет n - конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных интегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями Mу (х) и E Iу (х), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования уравнения (7.3) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

Здесь C1 и С2 произвольные постоянные интегрирования должны быть определены из граничных условий.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно применить м е то д н а -

ч а л ьн ых п а р а м ет р о в .

7. 3 Метод начальных параметров

Метод начальных параметров получил широкое применение при решении различных инженерных задач. Его разработали советские ученые Н.П. Пузыревский, Н.К. Снитко, Н.И. Безухое, А.А. Уманский и др.

Для того чтобы сократить число неизвестных произвольных постоянных интегрирования до двух, необходимо обеспечить равенство соответствующих постоянных на всех участках балки. Это равенство будет соблюдаться, если в уравнениях моментов, углов поворота и прогибов при переходе от участка к

61

участку повторяются все силовые факторы предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на левых границах своих силовых участков. Для обеспечения этих условий при составлении дифференциальных уравнений упругой линии и их интегрировании должны соблюдаться следующие условия:

1.Начало координат (общее для всех силовых участков) выбирается на конце балки:

- если есть заделка, то в заделке, - если на конце есть опора, то на опоре,

- если на обоих концах консоли, то безразлично, на каком конце начало координат.

2.При составлении уравнения для конкретного сечения учитываются нагрузки, расположенные от начала координат до сечения; распределенная нагрузка q продолжается до сечения в соответствии с правилами Клебша. При на-

личии сосредоточенного момента М его значение представлять в виде произведения М(z - l)0, где l – расстояние от начала координат до сечения, в котором этот момент приложен.

3.При действии распределенной нагрузки, не доходящей до правого конца рассматриваемого участка, она продолжается до этого конца и одновременно уравновешивается противоположно направленной нагрузкой той же интенсивности («дополнительная» и «уравновешивающая» нагрузки показываются на рисунках штриховыми линиями).

4.Интегрировать уравнение на всех участках, не раскрывая скобок. Рассмотрим балку (рис. 7.2) с постоянным поперечным сечением, нагру-

женную взаимоуравновешенной системой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикальные перемещения сечений балки в положительном направлении оси z). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось x проходила вдоль оси балки, а ось z была бы направлена вверх.

На балку действуют: момент М, сосредоточенная сила F и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 7.2).

l

x

Рис. 7.2

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вносимые в уравнение упругой линии, различными типами внешних силовых факторов. Для