Soprotivlenie_materialov / 270800_62 (ПГС)-10-1234-2428 / 04. Конспект лекций

43

ТЕМА 6. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ Вопросы :

1.Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента.

2.Напряжения при чистом изгибе.

3.Напряжения при поперечном изгибе.

4.Перемещения при плоском изгибе

6.1 Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Если силы, действующие на стержень, перпендикулярны его оси, то стержень изгибается, или, говорят, работает на изгиб. Прямолинейный стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Поперечное сечение балки может иметь любую форму, и для него, как известно, всегда можно построить пару взаимно перпендикулярных главных центральных осей инерции.

Наибольший практический интерес представляет случай, когда все внешние силы лежат в одной и той же плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечения. Возникающий при этом изгиб называют

прямым плоским поперечным изгибом, а чаще просто изгибом. При этом изо-

гнутая ось балки, называемая упругой линией, остается плоской кривой, лежащей в плоскости действия сил.

При изгибе одни продольные волокна балки растягиваются, другие сжимаются, а между ними есть слой волокон, которые не растянуты и не сжаты. Этот слой называют нейтральным, а линию пересечения нейтрального слоя балки с ее поперечным сечением - нейтральной линией, или нейтральной осью.

Нейтральная ось (н.о.) совпадает с той главной центральной осью инерции сечения, которая перпендикулярна плоскости действия сил (ПДС), как показано на рис. 6.1.

Рис. 6.1 В поперечных сечениях балки в общем случае возникают два внутренних

силовых фактора поперечная сила Q и изгибающий момент М, которые определяются из условий равновесия отсеченной (любой) части балки.

Поперечная сила Qz в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к отсеченной части балки, т. е. действующих на балку по одну сторону от данного сечения:

44

Определяя поперечную силу в данном сечении, внешние силы, лежащие слева от сечения, берем со знаком плюс, если они направлены вверх, и со знаком минус, если вниз. Для правой отсеченной части балки поступаем наоборот: внешние силы, лежащие справа от сечения, берем со знаком плюс, если они направлены вниз, и со знаком минус, если вверх (рис. 6.2).

Это же правило можно сформулировать иначе: в выражении (6.1) внешние силы берутся со знаком плюс, если они стремятся повернуть рассматриваемую часть балки по часовой стрелке. Полученная при этом поперечная сила Q считается положительной.

Изгибающий момент My в произвольном сечении балки равен алгебраической сумме моментов, взятых относительно центра тяжести сечения, всех внешних сил, приложенных к отсеченной части балки:

Определяя изгибающий момент в данном сечении, берем со знаком плюс те внешние моменты, которые вращают относительно центра тяжести сечения левую отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки, а правую - против хода часовой стрелки. Полученный при этом изгибающий момент М считается положительным. Это правило иллюстрируется условным рисунком (рис. 6.3): изгибающий момент положителен, если внешние моменты изгибают ось балки выпуклостью вниз, сжимая верхние волокна балки. При этом следует мысленно защемить отсеченную часть балки в рассматриваемом сечении и разрешить ей изогнуться под действием приложенной к ней внешней силы.

При построении эпюр Q условимся положительные ординаты откладывать вверх от оси абсцисс, которая параллельна оси балки, а при построении эпюр М – вниз от оси абсцисс. При этом принятое правило знаков для изгибающего момента соответствует тому, что ординаты на эпюре М откладываются в сторону растянутого волокна. Знак на эпюре моментов можно не ставить. На эпюре Q знак ставится.

По эпюре изгибающих моментов определяется положение опасного сечения. Для балки с постоянным поперечным сечением опасным является то сечение, в котором возникает наибольший изгибающий момент Мmax .

Изгиб, при котором в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент, называется чистым изгибом.

45

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов производится

вследующей последовательности:

1.Определяются опорные реакции (при расчете консольных балок этого можно не делать).

2.Определяется количество участков, подлежащих расчету (границами участков являются места приложения сосредоточенных сил и моментов, места начала и конца действия распределенных нагрузок.

3.По участкам, используя метод сечений, составляются выражения для определения поперечных сил и изгибающих моментов.

4.В полученные выражения подставляются координаты характерных точек и определяются числовые значения поперечных сил и изгибающих моментов в этих точках.

5.По полученным числовым значениям строятся эпюры внутренних усилий и определяются опасные сечения.

Пример 6.1. Для заданной балки (рис. 6.4, а) построить эпюры Q и М, ука-

зать опасное сечение. Дано: а = 3 м, b = 2 м, с = 1 м, d = 4 м, F = 120 кН, М1 = 20

кНм, М2 = 120 кНм, М3 = 20 кНм, q1 = 20 кН/м, q2 = 40 кН/м.

Решение

1. Определение опорных реакций.

Отбрасываем шарнирные опоры А и В, заменяя их действие силами реакций RA и RB (рис. 6.4, б).

Балка находится в равновесии под действием плоской системы параллельных сил, следовательно, можно записать два уравнения статики:

M A (Fi ) 0,

M1 q1b a b / 2 M 2 F a b c q2d a b c d / 2 M 3 R B (a b c d) 0

.

Подставляя заданные числовые значения, определяем реакцию RB:

Попутно отметим, что при отыскании опорных реакций правило знаков не играет существенной роли: составляя уравнение равновесия, можно считать положительным любое направление момента, но при этом противоположное направление следует считать отрицательным.

Для проверки правильности найденных реакций составим дополнительное уравнение статики, например, сумму проекций сил на ось z.

Fiy RA q1b F q2 d RB 20 20 2 120 40 4 60 200 200 0.

М

г)

Рис. 6.4

2. Построение эпюры Q.

Балка имеет четыре расчетных участка (пронумерованы римскими

при x = а+b Q = RA q1 b =20 20 2 = 20 кН.

47

На данном участке поперечная сила изменяется по линейному закону. III участок: d x d+c (отсчет сечений справа).

Произвольное сечение находится на расстоянии x от правого конца балки. Согласно формуле (6.1) и рис. 6.2 получим:

Q(x) = RB + q2 d F = 60 + 40 4 120 = 20 кН = const.

Поперечная сила меняется по линейному закону.

По полученным данным строим эпюру поперечных сил (рис. 6.4, в). Обратим внимание на следующие особенности вида эпюры Q:

а) на тех участках балки, где нет распределенных нагрузок, поперечная сила постоянна, и эпюра имеет вид прямой, параллельной оси балки;

б) на участках с равномерно распределенной нагрузкой эпюра Q имеет вид наклонной прямой, так как поперечная сила меняется по линейному закону;

в) в точке приложения сосредоточенной силы F на эпюре Q происходит скачкообразное изменение ординаты на величину приложенной силы. Направление скачка соответствует направлению силы (снизу вверх), если перемещаться по эпюре слева направо;

г) направление отсчета сечений на любом участке можно задавать произвольно, от любого конца балки правого или левого. На виде эпюры это не отразится. Однако для упрощения вычислений рекомендуется рассматривать ту отсеченную часть балки, к которой приложена более

Изгибающий момент меняется по квадратичному закону, эпюра представляет собой параболу. Точка, в которой поперечная сила Q обращается в нуль, является точкой экстремума изгибающего момента М, поэтому необходимо найти ее координату x0 и вычислить значение Мmax. Приравнивая нулю выражение Q(x) на этом участке, получим:

Мmax = 100 кНм в точке приложения сосредоточенной силы F.

Построение эпюр поперечной силы Qz и изгибающего момента My является одним из основных этапов при расчете конструкций на изгиб. По эпюрам Qz и My определяется опасное сечение, т.е. сечение в котором может произойти разрушение.

Опасным сечением называется сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения M y max max M .

В некоторых случаях опасным сечением может быть также сечение, где наибольшего значения достигает поперечная сила Qz max max Qz . В данном

случае опасным является место закрепления балки.

Контроль правильности построения эпюр можно осуществить по следующим правилам:

а) на тех участках, где нет распределенных нагрузок (q = 0), на эпюре Q - прямая, параллельная оси абсцисс, т. е. Q = const. На эпюре М на таких участках также прямая, но имеющая наклон под углом к оси эпюры, причем

tg dM / dx Q ;

б) в точках приложения сосредоточенных сил на эпюре М имеем изломы, направленные навстречу силам;

в) в месте приложения пары сил на эпюре Q никаких изменений не наблюдается, на эпюре М имеется скачок на величину момента данной пары;

г) на участках с равномерно распределенной нагрузкой (q = const) эпюра Q

49

представляет собой прямую, наклоненную к оси балки под углом (tg q ).

Эпюра М квадратная парабола, выпуклость которой направлена по нагрузке; д) при движении по эпюре слева направо на тех участках, где поперечная

сила Q 0, изгибающий момент М возрастает. На участках, где Q 0, М убывает. В той точке, где поперечная сила Q = 0, М имеет экстремум (минимум, если нагрузка q направлена вниз, или максимум, если наоборот).

е) в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре Q должен быть скачок, равный по величине и знаку приложенной силе.

ж) чем больше по модулю величина Q , тем круче изменяется эпюра М. з) на свободных концах балки изгибающий момент равен нулю.

Эти правила справедливы, если проверять эпюры, начиная с левого конца балки к правому.

6.2 Напряжение при чистом изгибе

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый ч и с т ым и з - г и б о м . Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а поперечные силы равны нулю. Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга.

Определим нормальные напряжения, возникающие при чистом изгибе балки, находящейся под действием моментов Му. В произвольной точке балки (рис. 6.5, т. А) в общем случае могут возникать нормальные напряжения как вдоль продольной оси ζх, так и вдоль поперечных осей ζy, ζz.

Рис. 6.5

Однако экспериментально установлено, что нормальные напряжения ζy, ζz пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями ζx. Принимается так назы-

ваемая гипотеза ненадавливания продольных волокон ζy = 0, ζz = 0. Поэтому можно принять, что материал балки находится при линейном напряженном со-

50

стоянии вдоль оси x, и деформации подчиняются закону Гука. То есть нормальные напряжения при изгибе можно определить из формулы x E x . Устано-

вим закон изменения деформаций при изгибе балки. Экспериментально получено, что в деформируемой балке поперечные сечения плоские до деформации остаются плоскими и поперечными после деформации, имеет место гипотеза плоских сечений. При этом верхние волокна удлиняются, нижние укорачиваются, а продольная линия не меняет своей длины. Слой балки, не испытывающий при изгибе ни растяжения, ни сжатия, называется нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя и плоскости поперечного сечения называется

нейтральной линией.

Определим относительную деформацию волокна ав εx (далее будем обозначать ее просто ε).

где - радиус кривизны нейтрального слоя,

z - расстояние от нейтрального слоя до рассматриваемого волокна балки. Подставляя это соотношение в закон Гука, получим:

т.е. напряжения линейно зависят от координаты z.

Используя интегральную связь между напряжениями и изгибающим моментом

z dA M y ,

A

подставляя в него соотношение (6.3), получим

E z 2dA M y ,

A

где z 2dA J y - осевой момент инерции сечения.

A

Подставляя полученное выражение в (6.3), имеем формулу для нормальных напряжений при изгибе

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 6.5. Как видно, на нейтральной линии они равны нулю, максимального значения напряжения достигают в крайних верхних и нижних волокнах балки.

51

где Wу – осевой момент сопротивления сечения изгибу, геометрическая характеристика поперечного сечения.

Максимальное нормальное напряжение в балке возникает в сечении, где изгибающий момент достигает наибольшей по модулю величины, то есть в опасном сечении

My max

max Wy .

Условие прочности при изгибе формулируется следующим образом: балка будет прочной, если максимальные нормальные напряжения не превысят допускаемых напряжений

Величина допускаемых напряжений назначается в зависимости от материала, из которого изготовлена балка.

Пластичные материалы обладают примерно равными пределами текучести на сжатие тс и на растяжение тр равны между собой и поэтому [ c]=[ p]=[ ].

Для хрупких материалов, у которых прочность при сжатии выше, чем при растяжении, допускаемые напряжения на растяжение и сжатие, как правило, не равны между собой [ c] [ p] и, поэтому, необходимо записывать два условия прочности

где ymax p и ymax c - расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутого и сжатого волокон.

6.3 Напряжения при поперечном изгибе

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки стро-

го говоря не остаются плоскими. Однако при hl 1 (где h высота поперечного

сечения, l - длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений применяют ту же формулу (6.4).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dх

(рис. 6.6, а).

52

Рис. 6.6

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии z от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.6, в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.6, б). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади b dx распределены равно-

мерно, используя условие x = 0, получим:

N N d N + b dx = 0 ,

откуда

где N равнодействующая нормальных сил dA в левом поперечном сечении

где S y z1d A статический момент части поперечного сечения, расположен-

A

ной выше координаты y (на рис. 5.21,б эта область заштрихована). Следовательно, (6.7) можно переписать в виде