Soprotivlenie_materialov / 270800_62 (ПГС)-10-1234-2428 / 04. Конспект лекций

13

Система сил, приложенных к элементарному кубу, должна удовлетворять условиям равновесия.

Рассмотрим элементарный параллелепипед размеров dx, dy, dz (рис. 3.1). Запишем уравнение равновесия параллелепипеда в виде суммы моментов относительно оси у (рис. 3.4), получим:

xz dx dy dz zx dx dy dz 0

Аналогично запишутся моменты сил относительно осей x и z. Из этих уравнений следует, что xy yx , xz yz zy , т.е. на двух взаимноперпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены либо к ребру, либо от ребра. Этот вывод выражает закон парности касательных напряжений, который устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам элемен-

Главные напряжения обозначаются 1, 2, 3, причем 1 2 3. Элемент, выделенный главными площадками, изображен на рис. 3.5.

1

Рис. 3.5

3.2 Виды напряженного состояния

В зависимости от количества действующих главных напряжений различают три вида напряженных состояний: линейное, плоское и объемное.

14

3.2.1 Линейное напряженное состояние

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис.3.6).

Примером линейного напряженного состояния может служить осевое рас- тяжение-сжатие.

Рассмотрим задачу определения напряжений в площадке общего положения. Угол наклона этой площадки α будем отмерять от направления 1 до нормали к площадке n . Примем, что положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки, а отрицательный по ходу часовой стрелки. Направим ось х вдоль нормали n , ось у – перпендикулярно ей. Расчетная схема для определения напряжений x и ху представлена на рис. 3.7. Получим:

жений по двум взаимно перпендикулярным площадкам величина постоянная и равна главному напряжению.

Касательные напряжения, действующие по наклонной площадке

yx 21 sin 2 21 sin(2 ) 21 sin 2 xy ,

Экспериментально установлено, что существует линейная зависимость между углом сдвига и касательными напряжениями (рис. 3.11), являющаяся законом Гука при сдвиге

G ,

где G – модуль сдвига, характеризующий способность материала сопротивляться сдвиговой деформации, т.е. характеризующая жесткость материала при сдвиге.

Величина модуля сдвига связана с модулем упругости при растяжении Е и коэффициентом Пуассона ν соотношением

Рассмотрим задачу определения главных напряжений 1 и 2, а также положения главных площадок (угол 0) по известным напряжениям х, у, ху, действующим по двум взаимно перпендикулярным площадкам (обратная за-

дача).

Пусть для определенности положим х у. Из формул (3.1) и (3.2), можно получить

2 xy ( 1 2 )sin 2 ,

Исключив из этих формул 1 и 2, получим формулу для определения угла наклона главных площадок относительно заданной площадки. Обозначим этот угол 0. Так как направление отсчета углов для площадки произвольного положения и угла 0 противоположны, то в полученной формуле необходимо изменить знак. Положительный угол 0 будем откладывать от направления внешней нормали к площадке, по которой действуют большие нормальные на-

пряжения х против хода часовой стрелки.

18

Для определения 1 и 2 возведем каждое из соотношений (3.3) в квадрат и сложим их:

( x y )2 4 xy2 ( 1 2)2 ,

тогда

(1 2) ( x y )2 4 xy2 ,

а так как x y 1 2 , то из двух последних соотношений получим:

напряжений в площадках, проходящих через одну из координатных осей x, y

или z (рис.3.1).

Используя принцип независимости действия сил, и результаты решения прямой задачи для линейного и плоского напряженных состояний, получим:

При = 450, касательные напряжения достигают наибольших значений:

c учетом того, что 1 2 3, получим:

max 2 max 1 3 .

2

Таким образом, площадка с наибольшим касательным напряжением наклонена под углом α=450 к главным площадкам с напряжениями 1, 3.

Также можно доказать, что

x y z 1 2 3 const .

21

В случае площадок общего положения (не главных площадок) выражение для удельной потенциальной энергии приобретает вид:

Рассмотрим напряженное состояние чистого сдвига. Запишем выражение удельной потенциальной энергии деформации по площадкам чистого сдвига:

Таким образом, постоянные упругости материалов, характеризующие жесткость при растяжении и сдвиге и поперечную деформацию, являются зависимыми. Поэтому достаточно определить лабораторным путем при растяжении две характеристики упругости Е и , а третья G может быть вычислена аналитически.

3.4 Теории прочности

Теория прочности дает оценку прочности материала, находящегося в любом напряженном состоянии, по какому-либо решающему фактору (так называемому критерию прочности). За критерий прочности, как показывают многочисленные исследования, можно принимать напряжения, деформации или энергию деформации (полную энергию или энергию изменения формы). Введение критерия прочности позволяет сопоставить данное сложное напряженное состояние с простым, например, с одноосным растяжением и установить при этом такое эквивалентное (расчетное) напряжение экв, которое в обоих случаях дает одинаковый коэффициент запаса прочности.

Если в двух напряженных состояниях коэффициенты запаса равны, то они называются равноопасными. Для сравнения различных напряженных состояний за эталон (эквивалент) принято простое растяжение (сжатие) с главным на-

пряжением экв.

Эквивалентное напряжение экв - это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равно-

22

опасно заданному напряженному состоянию. Условие прочности записывается

в виде экв [ ].

Теории прочности представляют собой гипотезы о критериях, определяющих условия перехода материала в предельное состояние.

Рассмотрим некоторые из теорий прочности, заметив предварительно, что общий ход решения задачи построения любой из этих теорий будет следующим.

1.Вводят определенную меру прочности в виде прочности при линейном напряженном состоянии - при осевом растяжении (сжатии) или при чистом сдвиге.

2.Выбирают критерий прочности (напряжение, деформацию или энергию деформации).

3.Устанавливают характеристики прочности для элемента тела в сложном напряженном состоянии и отдельно - для линейного напряженного состояния.

4.Составляя условие равнопрочности сложного и линейного напряженных состояний, получают расчетное уравнение прочности (условие прочности).

5.Проверяют полученное условие прочности на опытном материале.

Врезультате получения нового экспериментального материала приходят к новым критериям прочности или вводят в полученные условия ряд новых постоянных.

Заметим, что характер разрушения различных материалов зависит не только от свойств и строения материала, но и от формы образца, способа проведения испытаний, от характера нагружения (статическое, динамическое), от самого напряженного состояния, от начальных напряжений и т.д. Поэтому на первой ступени при разработке той или иной теории прочности приходится выделять лишь основные решающие факторы.

Опасное состояние как для пластичных материалов (момент появления больших остаточных деформаций), так и для хрупких (момент появления трещин) лежит на границе применения закона Гука (с известным, достаточным для практики, приближением). Это позволяет при всех дальнейших вычислениях, относящихся к проверкам прочности, пользоваться формулами, полученными при условии применимости закона Гука.

В настоящее время имеется несколько десятков различных теорий прочности, которые последовательно выдвигались в связи с новыми опытными данными, противоречащими некоторым теориям прочности, выдвинутым ранее. Основными теориями прочности принято считать следующие теории:

a) первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряже-

ний).

Первая теория прочности предложена Ламе (1830 г.) и разработана Рэйкиным (1888 г.). Согласно этой теории, преимущественное влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения.

Предполагается, что нарушение прочности в общем случае сложного напряженного состояния наступит тогда, когда наибольшее нормальное напряжение станет равным опасному (предельному) напряжению при линейном напря-