Soprotivlenie_materialov / 270800_62 (ПГС)-10-1234-2428 / 04. Конспект лекций

3

Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение стержня (направлена от рассматриваемого сечения), в противном случае она считается отрицательной (рис. 2.1, б).

2. 2 Нормальные напряжения и условие прочности

В общем случае в поперечных сечениях стержней могут возникать два вида напряжений: нормальные, направленные по нормали к сечению, и касательные, направленные в плоскости сечения. При центральном растяжении (сжатии) в поперечных сечениях стержней касательные напряжения равны нулю.

Продольная сила N приложена в центре тяжести поперечного сечения стержня и является равнодействующей нормальных напряжений

Это соотношение является уравнением равновесия статики, связывающим продольную силу Nх, и нормальное напряжение , которое в общем случае является функцией координат у, z и не может быть найдено из одного уравнения статики. Поэтому задача определения напряжений даже в самом простом случае деформирования стержня растяжении (сжатии) оказывается статически неопределимой.

Необходимое для решения этой задачи дополнительное уравнение вытекает из гипотезы плоских сечений. Поскольку поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и перпендикулярными к оси стержня, в процессе деформирования перемещаются вдоль оси стержня лишь поступательно (одинаковое удлинение всех продольных волокон), то = const и ввиду однозначности связи и (для линейно-упругого материала это - закон Гука: = Е ) получаем, что = const.

Тогда N = A, откуда получим формулу для определения нормальных напряжений в поперечном сечении при растяжении

NA ,

где N - значение продольной силы в рассматриваемом поперечном сечении; A - площадь рассматриваемого поперечного сечения.

Высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест резкого изменения площади поперечного сечения (рис. 2.2), скачкообразного изменения внешних нагрузок и физико-механических характеристик конструкций.

Рис. 2.2

Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напряженного состояния и формулируемый следующим

4

образом: особенности приложения внешних нагрузок проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня.

Условие прочности при растяжении (сжатии) призматического стержня для стержня из пластического материала (т. е. материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие) будет иметь вид:

где пт - коэффициент запаса прочности по пределу текучести. Если тр = тс, то индексы «р» и «с» у напряжений опускаются.

Для хрупких материалов допускаемые напряжения для растяжения и для сжатия равны соответственно:

p вр , nв

с вс ,

nв

где nв — коэффициент запаса прочности по пределу прочности.

Обычно nт < nв.

Величина коэффициента запаса зависит от точности выбранного метода расчета, вероятности наличия дефектов в материале, серьезности последствий разрушения. На величине коэффициента запаса прочности сказывается накопленный опыт в той или иной области техники. Обычно nт выбирается в пределах 1,7…3,5, а пв в пределах 2…5.

Напряжение в условии (2.2) подставляется по модулю, так как знак в этом случае роли не играет. Для стержней из хрупких материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак напряжения имеет принципиальное значение, и условие прочности приходится формулировать отдельно для растяжения и сжатия

где р и с – напряжения растяжения и сжатия; [ р] и [ с] – соответствующие им допускаемые напряжения.

В практике инженерных расчетов, исходя из условия прочности, решаются три основные задачи механики материалов конструкций. В применении к случаю растяжения (сжатия) призматического стержня эти задачи формулируются следующим образом.

5

1. Проверка прочности (проверочный расчет). Этот расчет проводится, ес-

ли нагрузка (в нашем случае ее представляет Nх), сечение стержня А и его материал [ ] заданы. Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности

NA .

Проверочный расчет заключается в том, что определяется фактический коэффициент запаса прочности п и сравнивается с нормативным коэффициентом запаса [n]:

no o A n ,

Nx

где 0 – предельное (или опасное) напряжение, т. е. напряжение, вызывающее отказ элемента конструкции (для стержня из пластичного материала это предел текучести т или условный предел текучести 0,2).

2. Подбор сечения (проектировочный расчет). В этом расчете по заданной нагрузке (Nх) определяются размеры поперечного сечения стержня (А) из заданного материала ([ ] задано). Минимальное значение А получим, если в условии прочности (2.2) принять знак равенства:

A Nx .

3. Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения на-

грузки, которое допускает данный элемент конструкции (А и [ ] заданы) при выполнении условия прочности

[N] = [ ] А.

2.3 Механические испытания материалов при растяжении (сжатии)

Для определения опасных напряжений 0 необходимо провести испытания образцов материала на растяжение и сжатие.

Растяжение образцов осуществляется на специальных испытательных машинах и сопровождается регистрацией усилий и соответствующих им деформаций. Большинство машин снабжено устройством, записывающим зависимость удлинения образца от приложенной к нему нагрузки. Вычерченная кривая в координатах F- l называется машинной диаграммой растя-

жения образца.

Для получения количественных оценок свойств материала диаграмма F- l перестраивается в условную диаграмму - , делением усилия F на первоначальную (до растяжения) площадь поперечного сечения образца A0 И удлинения рабочей части образца l на его начальную длину l0.

В результате действия нагрузки длина стержня увеличится на величину

l lк l0 , которая называется абсолютной продольной деформацией или удли-

нением стержня (рис. 2.3).

Относительной линейной деформацией называется отношение абсолют-

ной продольной деформации к начальной длине стержня:

l 0

где l0 - длина стержня до приложения нагрузки;

lк - длина стержня после приложения нагрузки.

Рис. 2.3

Кроме продольной деформации стержень испытывает и поперечные деформации, которые определяются по формулам:

bк , hк - соответственно ширина и высота сечения после приложения наг-

рузки.

Как показывают эксперименты, при работе стержня в зоне упругости, между продольными и поперечными деформациями существует линейная зависи-

где: коэффициент Пуассона (безразмерная величина), зависит от материала стержня ( 0 0,5 ) и является физической константой материала (для

стали = 0,25…0,33; для бронзы - = 0,32 … 0,35; для алюминия= 0,35 … 0,36; для пробки - = 0; для резины - =0,5).

Коэффициент Пуассона всегда положителен, а знак "минус" в формулах (4) указывает, что при растяжении стержня его поперечное сечение уменьшается и, наоборот, при сжатии – увеличивается.

На рис. 2.4 представлена типичная диаграмма =f ( ) для малоуглеродистой стали. Точками отмечены наиболее характерные моменты деформации материала.

Наибольшее напряжение, до которого справедлив закон Гука,(точка а), называется пределом пропорциональности ( пц).

7

Рис. 2.4

Наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточные деформации (точка b), называется пределом упругости ( у).

Предел текучести ( т) - напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки (точка с).

Для материалов, не имеющих на диаграмме выраженной площадки теку-

чести (участок bс), вводят понятие условного предела текучести 0,2 - напряжения, при котором остаточная деформация равна 0,002 или 0,2 %. Опыты показывают, что разгрузка образца осуществляется всегда по закону Гука, т. е. параллельно участку Оа. При полной разгрузке, когда = 0, упругие деформации снимаются и остаются только пластические. Следовательно, если на оси деформаций диаграммы - отложить от начала координат отрезок ОА, равный 0,002, и провести из точки А линию, параллельную прямой, выражающей закон Гука, то пересечение линии с диаграммой определит точку В, ордината которой будет соответствовать условному пределу текучести 0,2

(рис. 2.5).

Рис. 2.5

Временное сопротивление ( в) — условное напряжение, которое соответствует наибольшему усилию в процессе растяжения образца (точка d на рис.

2.4).

Fmax .

вA0

До точки d деформация равномерно распределяется по длине образца, площадь поперечного сечения образца уменьшается, но не зависит от координаты сечения. Дальнейшее растяжение сопровождается локализацией пластических деформаций, что ведет к образованию шейки (рис. 2.6). Площадь поперечного сечения в зоне локализации пластической деформации резко

8

уменьшается, что ведет к росту истинных напряжений, несмотря на снижение нагрузки (рис. 2.3, участок dк1).

Рис. 2.6

Отношение растягивающего усилия в момент разрушения (Fк) к площади поперечного сечения в месте разрушения (Ак) характеризует истинное сопротивление разрушению (SK):

Sк Pк . Aк

Для цилиндрического образца АK определяется путем замера диаметра в сечении, где произошло разрушение:

Aк D4 2 .

Рассмотренные выше напряжения количественно характеризуют прочностные свойства материала.

Для характеристики пластических свойств материала определяют от-

носительное удлинение образца после разрыва ( ) и относительное сужение после разрыва ( ).

Первая характеристика определяется отношением:

где 1Р - длина рабочей части образца после разрушения. Вторая характеристика определяется отношением:

Чем выше значения и , тем пластичнее материал. Обычно материал

считается пластичным, если > 5%. Как правило, несколько выше значений

.

Противоположным свойству пластичности является хрупкость, т. е. способность материала разрушаться без образования существенных остаточных деформаций. Для хрупких материалов не превышает 2…5 %.

Типичная диаграмма растяжения хрупкого материала показана на рис. 2.7. Она не имеет площадки текучести и разрушение образца происходит практически без остаточных деформаций. Единственной характеристикой прочностных свойств материала в этом случае является предел прочности в.

Испытания на сжатие пластичных материалов свидетельствуют о том, что пределы пропорциональности, упругости и текучести, как правило, мало отличаются от аналогичных характеристик, полученных при растяжении.

10

2.4 Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу W на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накапливается потенциальная энергия его деформирования U. При действии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела производится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружинах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В случае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

Выделим двумя поперечными сечениями х и x+dx элементарный участок стержня а-b длиной dx (см. рис. 2.9, а). После нагружения он переместится и займет положение a - b' (рис. 2.9, б).

dx

x dx

l

б)

a)

Рис. 2.9

До нагружения стержня элементарная длина отрезка аb была dlab = dx, а после нагружения стала dla'b'. Абсолютное удлинение отрезка стержня будет

dla b dlab (dx).

Элементарная потенциальная энергия деформации растяжение-сжатие будет

11

где п - число участков стержня.

Удельная потенциальная энергия, накопленная в единице объема стержня, будет

где V — объем стержня.

Единицей измерения потенциальной энергии деформации является 1H м = 1Дж.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется стержнем?

2.Какой вид нагружения стержня называются осевым растяжением (сжатием)?

3.Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении стержня?

4.Что такое эпюра продольных сил и как она строится?

5.Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях цен- трально-растянутого или центрально-сжатого стержня и по какой формуле они определяются?

6.Как связаны гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) и закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении растянутого (сжатого) стержня?

7.Что называется удлинением стержня (абсолютной продольной деформацией)? Что такое относительная продольная деформация? Каковы размерности абсолютной и относительной продольных деформаций?

8.Что называется модулем упругости Е? Как влияет величина Е на деформации стержня?

12

ТЕМА 3. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО Вопросы :

1.Главные площадки и главные напряжения.

2.Виды напряженного состояния.

3.Обобщенный закон Гука.

4.Теории прочности.

3.1 Главные площадки и главные напряжения

Для того чтобы правильно оценить прочность бруса, необходимо уметь вычислять напряжение по любому сечению.

Через любую точку тела можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок. При нагружении тела на этих площадках возникают в общем случае как нормальные, так и касательные напряжения.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих на всем бесчисленном множестве площадок, которые можно провести через данную точку, характеризует напряженное состояние в этой точке.

Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим данную точку.

Исследование напряженного состояния дает возможность анализировать прочность материала для любого случая нагружения тела.

вектор касательных напряжений следует поворачивать против хода часовой стрелки до совпадения с внешней нормалью (рис.3.2). Отрицательными считаются напряжения обратных направлений (рис. 3.3).