3.2. Эконометрические модели с переменной структурой. Фиктивные переменные

Ранее рассматривались регрессионные модели с постоянными значениями коэффициентов на множестве исходных данных. Их также называют эконометрическими моделями с постоянной структурой. При построении таких моделей предполагается, что взаимосвязи между зависимой и независимыми переменными постоянны и не подвержены изменениям ни во времени, ни в пространстве.

Однако, кроме переменных, включенных в модель, на уровень анализируемого показателя обычно влияет большое число сопутствующих факторов. Обеспечить постоянство внешних условий для всех объектов, вошедших в выборку, удается достаточно редко.

При анализе реальных социально-экономических процессов часто приходится констатировать, что со временем под влиянием вновь появившихся условий, факторов и масштаба, взаимосвязи между качественными и количественными, зависимыми и независимыми факторами меняются. В таких случаях модели с постоянной структурой являются недостаточно точными для объяснения закономерностей меняющихся явлений и для их анализа прибегают к построению так называемых моделей с переменной структурой. Они позволяют учесть изменения значений коэффициентов в рамках одной эконометрической модели.

Если в ходе сбора статистических данных имеет место косвенное воздействие на них во времени или в пространстве некоторых качественных факторов - сопутствующих переменных, то линейные модели с переменной структурой учитывают скачкообразные сдвиги в значениях коэффициентов регрессии.

Использование моделей с переменной структурой позволяет решить ряд проблем, вызванных неполной спецификацией эконометрической модели: не включение по разным причинам в уравнение регрессии существенных факторов (из-за отсутствия исходных данных, слабости содержательного обоснования и т.д.), неверной функциональной формы модели.

Чаще всего предполагают, что сопутствующие переменные носят качественный характер. Например, на потребление населением газированной воды оказывает влияние качественная «сопутствующая переменная» – сезонность. За этой качественной переменной скрывается целый комплекс факторов: изменение длины светового дня, среднемесячной температуры, распределение праздничных дней по месяцам и т.д. При анализе расходов на продукты питания, очевидно, что существуют различия в образе жизни городского и сельского населения, которые можно попытаться учесть с помощью переменной «тип поселения»: областной центр, город, село.

Для того, чтобы учесть влияние сопутствующих переменных на структуру эконометрической модели, в регрессионную модель вводят

фиктивные переменные или дамми-переменные (dummy-variables).

Под фиктивной переменной или дамми-переменной понимают переменную, которая равна единице для конкретной части выборочной совокупности, и нулю - для оставшейся части. Форма фиктивных переменных всегда зависит от допущений о влиянии сопутствующей качественной переменной на коэффициенты модели.

При введении фиктивных переменных надежность коэффициентов регрессии будет выше, чем коэффициентов, оцениваемые по подвыборке. Также возможна проверка гипотезы о наличии или отсутствии влияния сопутствующей переменной на структуру модели.

Допустим нам необходимо в модели учесть влияние пола. Для этого определим фиктивную переменную d, значения которой равны 1, если респондент мужчина и 0 – женщина:

0,если i индивид женщина; di = 1,еслиi индивидмужчина.

Можно поступить наоборот, определив переменную d’:

1,если iиндивид женщина; di = 0,еслиiиндивидмужчина.

Выполняется равенство di + d′i=1.

Поэтому необходимо включать в уравнение только одну переменную: либо di, либо d′i, но не вместе одновременно. Если же мы хотим включить в уравнение обе переменных d и d′, то для того, чтобы избежать строгой коллинеарности, из уравнения необходимо исключить свободный член. Надо отметить, что строгая коллинеарность возникает, когда существует строгая линейная зависимость между объясняющими переменными, что не позволяет оценить модель. В случае нестрогой линейной зависимости речь идет о мультиколлинеарности, что также создает проблемы при оценивании модели.

Кроме того, фиктивные переменные можно использовать для учета нелинейного влияния качественных переменных с помощью так называемых перекрестных дамми.

Переменные, полученные путем перемножения с фиктивными, обычно называют перекрестными фиктивными переменными или перекрестными

дамми.

Задача 3

Допустим, что исследователю необходимо изучить тест, который предсказывает будущую производительность труда работников. Восемь женщин и семь мужчин выполнили предусмотренные тестом задания. После чего была оценена производительность индексом, принимающим значение от 0 до 10. Данные приведены в таблице 3.1.

Уравнение регрессии будем искать в виде:

где х1 – переменная теста способностей; х2 – фиктивная переменная «пол»:

0,если i индивид женщина; х2i = 1,еслиi индивидмужчина.

Уравнение (3.1) эквивалентно следующим уравнениям: уˆ =b0 +b1 x1 +0 х2 =b0 +b1 x1 - для женщин; уˆ =b0 +b1 x1 +b2 1 = (b0 +b2 ) +b1 x1 - для мужчин.

Коэффициент b2 представляет влияние мужского пола на производительность труда, b1 - влияние разницы в результатах теста способностей. Переменную х2 можно рассматривать как переключающую переменную, которая включена, когда рассматриваются данные для мужчины и выключена, когда данные относятся к женщине.

Введем данные в таблицу Excel и построим уравнение с помощью Пакета анализа. Результаты представлены на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Вывод итогов

Как видно из рис. 3.5 получено уравнение регрессии:

Коэффициент при х1 показывает, что при увеличении оценки теста на 1 балл, производительность труда увеличивается в среднем на 0,125 оценки.

Коэффициент при переменной х2 применим только для мужчин. Он свидетельствует, что оценка производительности труда для мужчин на 2,3 балла ниже по сравнению с женщинами, при условии, что значение теста способностей у них одинаково.

Коэффициенты уравнения при переменных х1 и х2 значимы. Следовательно, на оценку производительности значения теста и пол опрашиваемого оказывают значимое влияние.

Можно записать уравнение отдельно для мужчин и женщин:

уˆ = −1,81+0,125x1 - для женщин;

уˆ = −1,81+0,125x1 −2,3 = −4,11+0,125x1 - для мужчин.

Эти уравнения можно использовать для прогноза.

Рассчитаем производительность труда при прохождении теста на 70 баллов:

уˆ = −1,81+0,125 70 = 6,94 - для женщин;

уˆ = −4,11+0,125 70 = 4,64 - для мужчин.