ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА в примерах и задачах / met64

Это общее решение, которое можно записать также в виде век- тор-столбца

4. Найти фундаментальную совокупность и общее решение системы уравнений

x1 +3x2 +3x3 + 2x4 + 4x5 = 0, x1 + 4x2 +5x3 +3x4 +7x5 = 0, 2x1 +5x2 + 4x3 + x4 +5x5 = 0,

x1 +5x2 +7x3 +6x4 +10x5 = 0.

Решение. Выпишем матрицу системы и упростим ее с помощью элементарных преобразований, вычитая первую строку, умноженную на 1, 2 и 1 соответственно из второй, третьей и четвертой строк:

Теперь вторую строку прибавим к третьей и ее же, умноженную на 2, вычтем из четвертой строки, получим

31

Ранг этой матрицы равен трем. Следовательно, три неизвестные являются главными, а две – свободными. Выберем в качестве главных x1 , x2 , x4 . Это можно сделать, т.к. минор 3-го порядка, состав-

ленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля. Соответствующая преобразованной матрице система имеет вид

x1 +3x2 +3x3 + 2x4 + 4x5 = 0, x2 + 2x3 + x4 +3x5 = 0,

x4 = 0.

Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение

x1 =3x3 +5x5 ,

собом два линейно независимых вектора. Обычно это делается путем задания искомого вектор-столбца в виде столбцов единичной матрицы размером, равным высоте столбца из свободных неизвестных. В данном случае – это матрица второго порядка

Придавая x3 , x5 значения из первого и второго столбцов этой матрицы, получим ФСР:

Поскольку общее решение системы есть сумма линейно независимых решений из ФСР, умноженных на произвольные коэффициенты, то его можно записать еще в следующем виде:

32

Задачи

Системы линейных алгебраических уравнений решить методом Гаусса

33

Системы линейных алгебраических уравнений решить по правилу Крамера

34

Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы линейных алгебраических уравнений

35

Найти общее решение и фундаментальную совокупность решений

3x1 + 2x2 +5x3 + 2x4 +7x5 = 0,

2.39.6x1 + 4x2 +7x3 + 4x4 +5x5 = 0,3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 −11x5 = 0,6x1 + 4x2 + x3 + 4x4 −13x5 = 0.

6x1 −2x2 +3x3 + 4x4 +9x5 = 0,

2.40.3x1 − x2 + 2x3 +6x4 +3x5 = 0,

6x1 −2x2 +5x3 + 20x4 +3x5 = 0,9x1 −3x2 + 4x3 + 2x4 +15x5 = 0.

36

37

3. ЛИНЕЙНЫЕ, ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

3.1. Линейные пространства

Определение. Множество векторов V называется вещественным линейным пространством, если в этом множестве введены операции сложения двух векторов (т.е. каждой паре x , y V по-

ставлен в соответствие определенный элемент z = x + y из множе-

ства V ) и умножения вектора на вещественное число (т.е. каждому вектору x V и произвольному числу α R поставлен в соответствие определенный элемент z = αx из множества V ), и эти две операции удовлетворяют следующим аксиомам:

1)x + y = y + x для x, y V ;

2)(x + y) + z = x + ( y + z) для x, y, z V ;

α(βx)= (αβ)x ; (α+β)x = αx +βx ; α(x + y)= αx +αy .

Определение. Арифметическим пространством Rn называется множество векторов {x =(x1, x2 ,..., xn ) xi R,i =1,2,..., n }, в котором операции сложения векторов и умножения вектора на число определены следующим образом: если α R , x =(x1, x2 ,..., xn ),

y=(y1 , y2 ,..., yn ), то

x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ), αx =(αx1,αx2 ,...,αxn ).

Утверждение. Множество всех решений однородной системы образует линейное пространство.

38

как f (t ) g (t ), а произведение функции на число вычисляется

обычным образом, не является линейным пространством;

б) множество всех векторов пространства R3, где сумма произвольных векторов a и b вычисляется как a,b , а произведение

вектора на число вычисляется обычным образом, не является линейным пространством;

в) множество всех диагональных матриц n-го порядка, где сумма произвольных матриц A и B вычисляется как A B , а произведение матрицы на число вычисляется обычным образом, не является линейным пространством;

г) множество всех вещественных чисел, в котором сумма произвольных чисел x и y вычисляется как x y , а произведение числа

на число вычисляется обычным образом, не является линейным пространством.

3.6. Доказать, что а) множество всех положительных чисел, в котором сумма про-

извольных чисел x и y вычисляется как x y , а произведение вещественного числа α на произвольное положительное число x

вычисляется как xα , является линейным пространством;

б) множество всех положительных функций, заданных на множестве (–∞,∞), если сумма произвольных функций f(t) и g(t) вычисляется как f(t) g(t), а произведение функции f(t) на число α вычисляется как f α (t ), является линейным пространством.

3.2. Линейная зависимость и независимость векторов Определение. Система векторов v1,...,vk называется линейно

независимой, если равенство λ1 v1 +... +λk vk = 0 выполняется только при λ1 =... = λk = 0 .

Утверждение. Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из этих векторов не является линейной комбинацией остальных векторов данной системы.

Определение. Система векторов v1 ,...,vk называется линейно зависимой, если существуют числа λ1,...,λk , не равные нулю одновременно, при которых выполняется равенство λ1 v1 +... +λk vk = 0 .

40