Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА в примерах и задачах / met64

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2015

Размер:

2.39 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ОБНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ (ИАТЭ)

Факультет естественных наук

Р.Х. АЛМАЕВ, Н.И. КУЗЬМЕНКО, В.В. МОРОЗЕНКО, О.Ф. ПЯТАХИН, А.Г. СЛЕСАРЕВ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Часть I

Учебное пособие по курсу

«Линейная алгебра» (для студентов 1-го курса)

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом университета

Обнинск 2008

УДК 512.8

Алмаев Р.Х., Кузьменко Н.И., Морозенко В.В., Пятахин О.Ф., Слесарев А.Г. Линейная алгебра в примерах и задачах. Учебное пособие по курсу «Линейная алгебра» для студентов 1-го курса. Ч. I. – Обнинск: ИАТЭ, 2008. – 72 с.

Учебное пособие представляет собой сборник задач, составленный преподавателями, в разные годы читавшими курс линейной алгебры студентам ИАТЭ. Каждая глава содержит необходимый минимум теоретических сведений (определения, теоремы, формулы), примеры решения типовых задач и достаточное количество задач для самостоятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами. Первая часть учебного пособия включает в себя материалы по темам «Матрицы и определители матриц», «Системы линейных уравнений», «Линейные пространства».

Учебное пособие предназначено для студентов 1-го курса.

Рецензенты: к.ф.-м.н. Н.Е. Каменоградский, к.ф.-м.н. В.Н. Латышев

Темплан 2008, поз.17

©Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2008 г.

©Авторы, 2008 г.

1. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется пря-

	a ..........	a
моугольная таблица чисел A	= ................11	1n	={a } ;	a – элемент
mn			ij	ij
	am1..........	amn

матрицы; i – номер строки; i = 1,…,m; j – номер столбца, j = 1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m = n Amn – квадратная матрица.

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице Ann , называется число

= ∑(−1)1+ j a1 j M1 j = a11 A11 +... + a1 j A1 j +... + a1n A1n . j=1

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Определение. Алгебраическим дополнение Aij элемента aij на-

зывается число, равное Aij =(−1)i+ j Mij .

Определение. Дополнительным минором Mij элемента aij матрицы Ann называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы Ann вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.


	a11	a12		...	a	1 j ...		a1 n−1	a1n
	a21	a22		...	a	2 j ...		a2 n−1	a2n
	...	... ... ... ...						...	...
Mij =	ai1	ai2		...	aij		...	ai n−1	ain	.
	...	... ... ... ...						...	...
	an−11	an−1	2	...	an−1 j ...			an−1 n−1	an−1 n
	an1	an2		...	anj ...			an n−1	ann
	an1	an2		...

Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Свойства определителей

1.При транспонировании матрицы определитель не меняется.

2.При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

3.При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.

4.Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой

	a11	a1n		a11	a1n		a11	a1n
строки, то	ai1	ain	+	bi1	bin	=	ai1 +bi1	ain +bin	.
	an1	ann		an1	ann		an1	ann

5. Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если

-все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю;

-две строки (столбца) одинаковы;

-две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Методы вычисления определителей

1). Разложение по строке или столбцу.

2). Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путем умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк) зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).

3). Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диагонали.

4). Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель n -го порядка равен сумме произведений всех его миноров k -го порядка, стоящих в выделенных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

1.1. Определители матриц

Примеры

1. Вычислить данный определитель четвертого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:

	2	−1	1	0
	2	−1	1	0
=	0	1	2	1	.
	3	−1	2	0
	3	1	6	3

Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвертый столбец. Итак имеем

		2	−1			1		0			0	1 2							2	−1		1


		0	1			2		1
=		0	1			2		1	= 0 (−1)1+4		3		−1 2		+1 (−1)2+4				3 −1 2				+
=		3 −1 2 0							= 0 (−1)1+4		3		−1 2		+1 (−1)2+4				3 −1 2				+
		3	1			6		3			3	1 6							3	1		6
		3	1			6		3
+0 (−1)3+4					2		−1 2			+3 (−1)4+4			2	−1 1			2	−1 1
					2		−1 2						2	−1 1			2	−1 1
					0	1 2							0	1	2	=	3	−1 2			+
					3			1	6				3	−1	2		3	1		6
+3	2		−1	1				= 1 +3 2 .
	2		−1	1
	0		1		2
	3		−1	2

Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе 1 нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В 2 единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообра-

зия будем разлагать				2 по второй строке:
	2	−1	1	1+1	−1 2				2+1	−1 1


1 =	3	−1	2				+3	(−1)				+
1 =	3	−1	2	= 2 (−1)	1	6	+3	(−1)		1	6	+
	3	1	6		1	6				1	6
	3	1	6

+3 (−1)3+1 −1 1 = 2 (−6 − 2) −3 (−6 −1) +3 (−2 +1) = −1 2

= −16 + 21−3 = 2

2 =	2	−1		1	= 0 (−1)2+1		−1	1	+1 (−1)2+2	2	1	+


	0	1 2
	3	−1		2			−1	2		3	2
	3	−1		2
+2 (−1)2+3			2	−1		=1 (4 −3) −2 (−2 +3) =1− 2 = −1
+2 (−1)2+3			2	−1		=1 (4 −3) −2 (−2 +3) =1− 2 = −1
			3	−1

Таким образом, окончательно получим

= 1 +3 2 = 2 +3 (−1) = −1.

2. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца, вычислить определитель матрицы

	1	2	3	4
=	2	3	4	1	.
	3	4	1	2
	4	1	2	3

Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвертого столбцовпервыйстолбец, умноженныйсоответственнона2, 3 и4. Получим

	1	2	3	4		1	2 −2	3 −3	4 − 4
	1	2	3	4		1	2 −2	3 −3	4 − 4
=	2	3	4	1	=	2	3 −4	4 −6	1−8	=
	3	4	1	2		3	4 −6	1−9 2 −12
	4	1	2	3		4	1−8 2 −12 3 −16

	1	0	0	0		1	0	0	0
=	2	−1 −2		−7	= (−1)	2	1	2	7	.
	3	−2	−8	−10		3	2	8	10
	4	−7	−10	−13		4	7	10	13

Представленный в таком виде определитель разложим по пер-

вой строке:	1	0	0	0
						1	2		7

	2 1		2	7
= (−1)					= (−1) 1	2 8		10		.
	3	2	8	10		7	10		13
	4	7	10	13

Определитель третьего порядка, к которому свелся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

	1	2			7			1	0	0
= (−1) 1	2	8		10		= (−1)		2 4		−4	=
	7	10			13			7	−4	−36
= (−1) 4 (−4)			1		0	0	=16 (9 +1) =160.
			1		0	0
			2		1	1
			7		−1	9

3. Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель из примера 2.

Решение. Воспользуемся видом определителя , который получился после процедуры зануления всех элементов (кроме первого)

первой строки:	1	0	0	0
	1	0	0	0
= (−1)	2	1	2	7	.
	3	2	8	10
	4	7	10	13

Далее с помощью второго столбца занулим элементы второй строки, кроме первых двух, для чего вычтем из третьего и четвертого столбцов второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

	1	0	0	0		1	0	0	0
= (−1)	2	1	2	7	= (−1)	2	1	0	0	=
	3	2	8	10		3	2	4	−4
	4	7	10	13		4	7	−4	−36

	1	0	0	0		1	0	0	0
= (−1) 4 (−4)	2	1	0	0	=16	2	1	0	0	.
	3	2	1	1		3	2	1	1
	4	7	−1	9		4	7	−1	9

Наконец, вычтем третий столбец из четвертого, в результате чего определитель сведется к треугольному виду, величина которого равна произведению элементов главной диагонали:

	1	0	0	0		1	0	0	0
=16	2	1	0	0	=16	2	1	0	0	=16 10 =160.
	3	2	1	1		3	2	1	0
	4	7	−1	9		4	7	−1	10

Задачи

1.1. Вычислить определитель разложением по элементам а) пер-

−2 1 3

вой строки; б) третьей строки 1 2 1 .

00 −3

1.2.Найти алгебраическое дополнение а) элемента 6; б) элемен-

3		4	−7	1
	2	1	5	2
та 0 данной матрицы					.
	3	−1	4	6
	−7	0	5	1

При каком значении α равны нулю следующие определители:

	3 −α	2		1	2	α		3 −α	0	0


1.3.			. 1.4.	−1	0	4	. 1.5.	2	α	0	.
	2	−α		1	2	−3		10	−5	1

Используя свойства определителей, вычислить следующие оп-

ределители:							2	−1	0	3
	1	2	−3

							−1	3	5	4				121	283

1.6.	4	−5	8	.	1.7.						.	1.8.				.
	5	3	5				4	−2	0	6				221	183
	5	3	5				1	2	3	4
							1	2	3	4
		2	4		−3				−1	3		3α
		2	4		−3				−1	3		3α
1.9.		1	−2		0	.	1.10.		2	1		−1+α	.
	2 +α 4 −2α −3								−3 4 1+ 4α

Вычислить определители, приведя матрицу к треугольному виду (приведение матрицы к треугольному виду – такое преобразование, при котором все элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю)

		−2	2	3	3									−4	3	7			2
		−2	2	3	3									−4	3	7			2
1.11.		0	3	−1	2		.				1.12.			2	2	0			−8		.
		3	−1	4	6									1	1	0			1
		1	2	0	1									5	3	0			4
		2 3 −1 4												3 −3 −5 8
		2 3 −1 4												3 −3 −5 8
1.13.	1		2	3	5	.					1.14.			−3	2			4		−6				.
	−1 2 0 1													2 −5 −7 5
	5		8	1	1									4	3 5 −6
Вычислить определители
		0	0	0	4							0	1		1	1							1		1	1	1
		0	0	0	4							0	1		1	1							1		1	1	1
1.15.		0	0	2 −10						1.16.		1	0		1	1	.	1.17.					1		−1	1	1	.
		0	1 3 17									1 1 0 1											1 1 −1 1
		−2 4 5 6										1 1 1 0											1 1 1 −1
		2	−5	1	2									−3	9			3	6
		2	−5	1	2									−3	9			3	6
1.18.		−3	7	−1	4			.			1.19.			−5	8			2	7					.
		5	−9 2 7											4 −5 −3 −2
		4	−6 1 2											7 −8 −4 −5
		2	−5 4 3											3	−3 −2 −5
		2	−5 4 3											3	−3 −2 −5
1.20.		3	−4	7	5				.		1.21.			2	5	4			6			.
		4	−9	8	5									5	5	8			7
		−3	2	−5	3									4	4	5			6
		3	−5	2		−4								3	2	2			2
		3	−5	2		−4								3	2	2			2
1.22.		−3	4	−5	3					.	1.23.			9	−8	5			10	.
		−5 7 −7 5												5	−8 5 8
		8	−8 5 −6											6	−5 4 7

	7	6	3	7				3	−5 −2		2				7	3	2	6
	7	6	3	7				3	−5 −2		2				7	3	2	6
1.24.	3	5	7	2	.	1.25.		−4	7	4	4	.	1.26.		8	−9	4	9	.
	5	4	3	5				4	−9	−3	7				7	−2	7	3
	5	6	5	4				2	−6	−3	2				5	−3	3	4
	6		−5	8		4				35	59	71	52
	6		−5	8		4				35	59	71	52
1.27.	9		7	5		2	.	1.28.		42	70	77	54	.
	7		5	3		7				43	68	72	52
	−4		8	−8		−3				29	49	65	50

	27	44		40	55					1	2	3	4	5

										2	3	7	10	13
	20	64		21	40
1.29.							.	1.30.		3	5	11	16	21		.
	13	−20		−13	24					2	−7 7		7	2
	46	45		−55	84
										1	4	5	3	10
		6	5	6	4
	3								3 2			−9 2	−3 2			−3

	5	9	7	8	6
									5 3			−8 3	−2 3			−7 3 .
1.31.	6	12	13	9	7	.		1.32.
	4	6	6	5	4				4 3			−5 3	−1			−2 3
									7			−8	−4			−5
	2	5	4	5	3

Вычислить определители, используя теорему Лапласа
	1	0	0	−1					2		−1	3	1	1


									4		3	0	0	0
	−1	3	2	2
1.33.					.			1.34.	1		2	−1	3	2	.
	2	0	0	3					1		2	0	0	0
	4	−2	3	1
									3		−1	0	0	0

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>