Выч.мат

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ОБНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ (ИАТЭ)

Факультет естественных наук

А.А.ШУТОВ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

по курсу «Вычислительная математика»

Обнинск 2005

I. Абсолютная и относительная погрешность числа. Правила округления

Практические действия с числами всегда связаны с некоторой неточностью их задания. Например, неточность результата операций с числами на вычислительных машинах связана ограниченностью количества разрядов для записи числа.

Определение 1. Погрешностью определения (записи) числа a является разность между приближенным значением a и точной величиной a:

Определение 2. Абсолютной погрешностью числа a называется мо-

дуль ∆a :

Определение 3. Относительная погрешность есть отношение аб-

солютной погрешности к модулю числа

Чаще всего, точная величина a неизвестна, и тогда вводят предель-

ную абсолютную погрешность ∆a , которую определяют как вся-

кое число, не меньшее абсолютной погрешности

∆= a − a ≤ ∆a .

Впоследнем неравенстве обычно указывается наименее возможное число, и практически ∆a определяется по коридору значений, в

котором заключена a. Например, для числа π известно, что 3,14 ≤ р ≤ 3,15 . Отсюда, взяв разность крайних значений, находим

∆a =0,01 . Можно улучшить эту оценку, взяв 3,14 ≤ р ≤ 3,142 , откуда находим, что р = 3,14 +0,002 .

1. Погрешность вычисления значения функции

Абсолютная и относительная погрешность дифференцируемой функции y = f(x) одного переменного определяется формулами соответственно:

Абсолютная погрешность функции n переменных f(x1, x2, …, xn) определяется выражением

3

а относительная погрешность

2. Операции с приближенными числами

2.1. Погрешность суммы и разности чисел. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел.

Рассмотрим алгебраическую сумму

Тогда, используя (4), имеем

∆ y = ∆x1 + ∆x2 +... + ∆xn .

Из (6) следует, что предельная абсолютная погрешность разности двух чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел.

2.2. Погрешность произведения и частного от деления чисел. От-

носительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел. Пусть

Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.

3. Правила округления чисел. Правильные знаки числа

Определение. Первые n значащих цифр (знаков) верные, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n− значащей цифрой. Это означает, что если известно, что в записи числа

a =α1 g m +α2 g m−1 + +αn g m−n+1 +αn+1 g m−n

абсолютная погрешность

∆ = a − a ≤ 21 g m−n+1 ,

4

то первые n цифр α1 ,α2 , ,αn − верные. Здесь g – основание сис-

темы счисления.

В промежуточных результатах учитывают два-три сомнительных знака, чтобы не накапливать погрешности округления.

Результат вычислений представляется, как правило, в округленном виде. В вычислительных машинах округление сводится к обрезанию чисел до величины, определяемой разрядностью машины. Немного иначе устроено правило округления при ручных расчетах. Если мы хотим удержать в числе первые n знаков, и если в следующем (n +1) разряде стоит цифра an+1 ≥ 5 , то к n-му разряду

добавляется единица. В противном случае цифра n−го порядка остается без изменений.

Пример 1. Число имеет 4 правильных знака после запятой a =a0 +a1 10−1 + a2 10 −2 + a3 10−3 + a4 10 −4 ,

если погрешность не превышает ∆ ≤ 10 −4 2 = 5 10 −5 .

Пример 2. Найти сумму приближенных чисел 345,4; 235,2; 11.75; 9.27; 0,348; 0,1834; 0,0849; 0,0214, считая в них все знаки верными.

Решение. Наибольшую погрешность имеют первые два числа, равную ∆1 = 0,05. Погрешность всей суммы в данном случае определяется суммой погрешностей первых двух чисел, т.е. ∆ = 2∆1 = 0.1. Вычисление суммы всех чисел с одним запасным знаком дает S = 602,25. Здесь верный знак – это первый знак после запятой, поэтому второй знак после запятой следует отбросить, и сумма равна S = 602,2, причем к погрешности ∆ добавляем погрешность округления 0,05, и таким образом, суммарная погрешность равна ∆S = 0,15.

Задачи

1. С какой минимальной точностью надо измерять радиус круга r = 40 см и со скольким наименьшим количеством верных знаков взять число π, чтобы площадь круга вычислялась с точностью 0.01%?

2. Определить относительную погрешность при вычислении полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований R, r, и образующая l, измерены с абсолютной погрешностью ∆.

3. Вычислить значение функции y = x3 sin x и определить абсолют-

ную и относительную погрешность при x= 2 , полагая 2 ≈ 1.414. 4. С каким числом верных знаков следует взять свободный член уравнения

x2 − 2x + lg 2 = 0 ,

5

чтобы получить корни уравнения с верными первыми четырьмя значащими цифрами?

5. По экватору шара, сопоставимого с земным шаром, натянута нить вплотную к поверхности. Затем нить удлиняется на ∆L и натягивается над шаром по окружности, соосной с экватором:

а) на сколько необходимо удлинить нить, чтобы увеличить радиус на 2 метра?

b) произвольная точка, удлиненной на ∆L нити, смещается в радиальном направлении от центра; каково будет наибольшее расстояние h от этой точки до поверхности сферы радиусом R?

6. С каким количеством знаков следует брать число π, чтобы вычислить с тремя правильными знаками

a) sin 1° ; b) cos 1°.

7. С каким числом верных знаков следует взять значение аргумента

x, чтобы получить значения указанных функций с точностью до

10−6 ?

8. Прямолинейный стержень длиной l = 1 метр, жестко зажатый на краях, нагревается на T = 400°. Коэффициент линейного расширения стержня α = 10 − 5 град− 1. Определить наибольшее отклонение h стержня от положения равновесия, если в результате термического расширения он принимает форму

a)равнобедренного треугольника;

b)квадратичной параболы, симметричной относительно краев.

Ответы и указания.

II. Вычисление значений трансцендентных функций

Для вычисления значений функций воспользуемся разложением функции в степенной ряд и методом итераций. Используемые алгоритмы наиболее адаптированы под вычислительные возможности компьютеров.

6

1. Использование степенных рядов для вычисления значений функций

Этот метод рассматривается здесь только для функций, которые можно представить в виде ряда Маклорена:

В качестве значения функции берется конечная сумма

f (x)≈ Pn (x)= ∑n f k !(0)xk ,

k =0 k

причем погрешность определяется остатком ряда

Для оценки погрешности можно использовать также формулу Тейлора, которая для ряда Маклорена дает

где 0 < θ < 1. Сравнение остатка с заданной погрешностью позволяет определить количество слагаемых n в Pn .

1.1. Вычисление показательной функции. Для показательной функ-

ции справедливо разложение

Этот ряд удобно суммировать, воспользовавшись следующим рекуррентным представлением. Выражение (3) можно записать следующим образом

Действительно, члены ряда (2) можно представить в виде:

Для оценки погрешности рассмотрим остаток ряда

7

При суммировании геометрической прогрессии предполагается,

что x < n+2. Если 0 < x < 1, то

Можно показать, что если |x| ≤ n/2, то погрешность также не превышает величины последнего слагаемого в конечной сумме Pn , т.е.

В случае применимости оценок (4) и (4а), как только модуль очередного слагаемого Un не превышает допустимую погрешность ε

U n < ε ,

то вычисления прекращают и полагают:

n

e x ≈ ∑U n .

k =0

Если x велико, то прямое использование ряда (3) связано с суммированием очень большого числа слагаемых. В этом случае процесс вычисления модифицируется путем разбиения x на целую и дробную части

Экспонента представляется в виде e x = e E(x)eq , и к множителю eq применяют рекуррентную процедуру. Этот метод пригоден и для показательной функции ax , если воспользоваться формулой

a x = ex ln a , а также для вычисления гиперболических функций. Пример 1. Вывести оценку (4a).

Решение. Выполним следующие преобразования в остатке ряда:

8

Отсюда находим, что Rn <U n , если x/(n-x) < 1, или x < n/2.

Пример 2. Вычислить e5/2 с двумя правильными знаками после запятой.

Решение. Представляем e5/2=e2e1/2 и используем значения e=2,718 , e2=7,389. Вычисляем ex при x=1/2.

Здесь можно использовать оценку (4), и поскольку следующие приближения не затрагивают второй знак, то P4 = 1,649 . Отсюда

e5 / 2 =7,389 1,649 = 12,38 .

1.2. Вычисление тригонометрических функций. Для тригонометри-

ческих функций используем представления

При больших x эти ряды сходятся медленно. Однако, пользуясь периодичностью функций, можно свести эту задачу к вычислению функций в промежутке [0, π/2]. Для функций sin x и cos x можно построить рекуррентный процесс:

Поскольку ряд знакопеременный, то его погрешность не превышает первого отброшенного слагаемого:

Пример 3. Вычислить sin 1 с двумя правильными знаками после запятой.

9

Пусть yn − приближенное значение y. Тогда можем записать тождество:

пределах заданной точности ε. Как только | yn+1 - yn |<ε, то вычисления прекращают и полагают y ≈ yn+1 .

2.1. Вычисление квадратного корня. Пусть y = x . Преобразуем

это уравнение к виду

F(x, y)= y2 − x = 0 .

Тогда Fy′ = 2 y и рекуррентная формула (8) приобретает вид

В качестве начального приближения выбирают близкое к x число.

10