Задача 3.7

Вычислить пороговую кинетическую энергию налетающей частицы в реакции а+³H→³He+n, если налетающей частицейаявляется а) протон; б) ядро трития (тритон).

Решение. По формуле (3.3) рассчитаем энергию реакции

Q = m_p + M(³H) – m_n – M(³He) = [Δm_p + Δ(³H) – Δm_n – Δ(³He)]·931,5 =

= [0,007825 + 0,016049 – 0,016030 – 0,0086665]·931,5 = –0,7648 МэВ.

Значения избытков масс атомов взяты из табл. 1 приложения. Как видно, реакция эндоэнергетическая.

Пороговая кинетическая энергия, согласно формуле (3.6) будет равна

а) МэВ;

б) МэВ.

Задача 3.8

Определить кинетическую энергию ядер ⁷Ве, возникающих в реакцииp+⁷Li→⁷Be+n– 1,65 МэВ при пороговом значении кинетической энергии протона.

Решение. Кинетическая энергия возникающего ядра⁷Ве равна

,

(3.8.1)

где, согласно (3.6.10), – скорость движения ядра⁷Ве в ЛСК, а– скорость СЦИ относительно ЛСК.

Поскольку в СЦИ скорости движения образовавшихся ядра ⁷Beи нейтрона при пороговой энергии протона равны нулю по определению, то в ЛСК обе образовавшиеся частицы движутся с одинаковой скоростьюи

.

(3.8.2)

Согласно (3.6.12)

.

(3.8.3)

Поскольку

,

(3.8.4)

а в свою очередь, согласно (3.6.14),

,

(3.8.5)

то из уравнений (3.8.2) ÷ (3.8.5) получаем:

(3.8.6)

Задача 3.9

Вычислить энергию реакции¹⁴N(α,p)¹⁷O, еслиT_α= 4 МэВ – энергия налетающих α-частиц, а протон, вылетевший под угломº к направлению движения α-частицы, имеет энергиюТ_р= 2,08 МэВ.

Решение. Согласно (3.3), энергия реакции

Q = T2 – T1 = Tр + –Tα.

(3.9.1)

Изобразим графически закон сохранения импульса в виде векторного треугольника (рис. 3.9.1). По теореме косинусов

.

(3.9.2)

Учитывая, что р²= 2mT, из (3.9.2) получим

.

(3.9.3)

Подставив это выражение в (3.9.1), имеем

Q =  Tр + –Tα = = 2,08 +– 4 = –1,2 МэВ.

Задача 3.10

Получить в СЦИ формулу (3.5) для импульса частиц, возникающих в результате ядерной реакции (3.1), если энергия реакцииQ, а кинетическая энергия налетающей частицыав ЛСК равнаТ_а.

Решение. В СЦИ импульсыиобразовавшихся частицbиВдолжны быть равны по величине и противоположно направлены:

.

Из определения энергии реакции (3.3)

(3.10.1)

В свою очередь,

,

(3.10.2)

где приведенная масса частиц, образовавшихся в результате ядерной реакции.

Подставив выражение (3.10.2) для кинетической энергии в (3.10.1), получим

.

(3.10.3)

Из (3.6.13) выразим в СЦИ суммарную кинетическую энергию частиц, участвующих в ядерной реакции, через кинетическую энергиюТ₁=Т_ав ЛСК и подставим результат в (3.10.2)

.

(3.10.4)

Полученная формула удобна для построения векторной диаграммы импульсов.

Задача 3.11

Определить кинетическую энергию ядер кислорода, вылетающих под углом 30º к направлению бомбардирующих протонов в реакции¹⁴N(p,n)¹⁴О,Q=– 5,9 МэВ. Кинетическая энергия протонов 10 МэВ. Решение получить с помощью построенной в масштабе векторной диаграммы импульсов для ядерной реакции.

Решение. Поскольку кинетическая энергия вылетающих частиц в СЦИ не зависит от угла вылета, то делаем заключение, что следует определить кинетическую энергиюТ_О() в ЛСК. Предварительно напомним, что в нерелятивистском случае, который здесь реализуется (почему?), кинетическая энергия ядер¹⁴О выражается через их импульс обычным образом:

.

(3.11.1)

Для нахождения p(¹⁴О) построим векторную диаграмму импульсов. Для этого определим величину вектора налетающей частицы:

у.е.,

т. к. энергию и массу выражаем во внесистемных единицах. Выбираем в качестве масштаба 1 у.е. = 1 см и на рис. 3.11.1 строим направленный отрезокАВдлиной 4,47 см, отображающий вектор импульса налетающего протона. Затем делим этот отрезок точкойОна два отрезкаАОиОВтаким образом, чтобыАО/ОВ=m_n/M(¹⁴O). По формуле (3.5), используя (3.10.4), вычисляем величину импульса образовавшихся частиц в СЦИ:

= 2,53 у.е.

Радиусом R=2,53 см проводим дугу с центром в точкеО. Из точкиВпод угломφ = 30º по направлению к отрезкуАВпроводим луч до пересечения с дугой в точкахСиС₁. Направленные отрезкиС₁ВиСВотображают в ЛСК два возможных импульса вылетающих под угломφ = 30º ядер¹⁴О. Соответственно отрезкиАС₁иАСотображают в ЛСК два возможных импульса образующихся нейтронов. Измерив длину отрезковС₁ВиСВполучаем, чтоР₁(¹⁴О) = 5,0 у.е., аР(¹⁴О) = 2,2 у.е. Этим величинам импульсов отвечают, согласно формуле (3.11.1), два значения кинетической энергии ядер¹⁴О в ЛСК:

МэВ.

Полезно получить величины р₁(¹⁴О) ир₂(¹⁴О) аналитически. Для этого на рис. 3.11.1 соединим точки «О» и «С» и решим треугольникОВС. СторонаОС== 2,53 у.е., сторонаОВ== (14/15)Р_а= = 4,17 у.е.Используя теорему косинусов, получим

ОС²=СВ²+ОВ²– 2СВ·ОВ·соsφ,

или квадратное уравнение для нахождения Р(¹⁴О):

2,53²=Р²(¹⁴О) + 4,17²- 2р(¹⁴О)·.

Это уравнение имеет два корня, которые дают две искомых величины векторов

р₁(¹⁴О) = 3,61 + 1,43 = 5,04 у.е.

и

р₂(¹⁴О) = 3,61 - 1,43 = 2,18 у.е.,

которые являются, разумеется, более точными, чем значения, полученные выше графическим способом.