7.1. Асимметрия (скошенность)

Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра, равны между собой. Для таких рядов распределений характеристики следующие:

= Мо = Ме; R = 6; = 1,25d.

Если указанные условия нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения.

Правосторонняя асимметрия: Mo > Me > (т.е. разности– Мо > 0 и– Ме > 0), рис. 1.

Левосторонняя асимметрия: Mo < Me < (т.е. разности– Мо < 0 и– Ме < 0), рис. 2.

Относительный показатель асимметрии (As) применяется при сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения:

или .

Коэффициент асимметрии (As) вычисляется так:

. (7.24)

Этот показатель асимметрии более точен по сравнению с предыдущим и применяется более широко. Принято считать, что As > 0,25 (независимо от знака) считается значительной; если As < 0,25, то незначительной.

Во всех случаях если As>0, то асимметрия правосторонняя (рис. 1), если As<0, то асимметрия левосторонняя (рис. 2). (На рисунках N изображает кривую нормального распределения.)

Оценка существенности As проводится на основе средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии, т.е. на основе , которая зависит от числа наблюдений (n):

.

В случае асимметриясущественна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

As>0 As<0

N N

Рис. 1 Рис. 2

7.2. Эксцесс (крутость)

Эксцесса показатель (Ех) (рассчитывается для симметричных распределений):

. (7.25)

Если Ех>0, то распределение островершинное (рис. 3), если Ех<0, то плосковершинное (рис. 4). (На рисунках N изображает кривую нормального распределения.)

Ex>0

N N

Ex<0

Рис. 3 Рис. 4

Оценка существенности Ex проводится на основе средней квадратической ошибки показателя эксцесса, т.е. на основе , которая зависит от числа наблюдений (n):

.

В случае эксцесссущественен. В противном случае эксцесс несущественен и его наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

Часто исравнивают соответственно снормированными значениями As и Ех:

; .

8. Нормальное распределение

Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых распределения и сопоставления их с теоретическими в статистике часто пользуются нормальным распределением.

Плотность нормального распределения равняется

, (7.26)

где

– стандартизированное отклонение;

х – варианты вариационного ряда;

– их средняя величина;

– среднее квадратическое отклонение.

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами – средней арифметической и средним квадратическим отклонением.

Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действуют вместе. Если ни одна из случайно действующих причин по своему действию не окажется преобладающей над другими, то закон распределения очень близко подходит к нормальному (например, распределение отклонений в производственном процессе при нормальном уровне организации технологии, в распределении населения определенного возраста, по размеру обуви и т.д.).