КУРС ЛЕКЦИЙ ПО СОПРОМАТУ

Требуется вычислить интеграл Мора i MF Mi dz EIx

Грузовая эпюра MF имеет площадь, равную АF с центром тяжести в точ-

ке С.

ния перемещений по способу Верещагина принимает вид i AF MC

EIx

Итак, интеграл Мора равен произведению площади грузовой эпюры на ординату единичной эпюры, взятую под центром тяжести грузовой эпюры.

Примечания:

1.Используется способ Верещагина только при расчетах прямолинейных систем.

2.Если система имеет несколько силовых участков, то перемножаются грузовые и единичные эпюры на каждом участке.

3.Перемножаются грузовые и единичные эпюры, расположенные на одном основании.

4.Если эпюра имеет сложную форму, то она разбивается на простые фигуры – прямоугольник, треугольник и пр.

5.Если перемножаемые эпюры имеют разные знаки, то их произведение отрицательно, а если одинаковые знаки – то произведение положительно.

6.Если грузовая эпюра имеет прямолинейную форму, то перемножение можно производить в обратном порядке, т.е. площадь единичной эпюры умножаем на ординату грузовой эпюры, взятую под центром тяжести единичной эпюры.

61

Пример Определить способом Верещагина прогиб и угол поворота сечения В.

Решение:

1. Для определения yB образуем 1-ю вспомогательную систему, где в точку В прикладываем единичную силу F .

Для определенияB образуем 2-ю вспо-

могательную систему, где в точку В прикладываем единичный момент M .

2. Строим для заданной системы грузовую эпюру MF, для 1-й вспомогательной системы единичную эпюру M1 и для 2-й

вспомогательной системы единичную

эпюру M2 .

3. Решаем интеграл Мора способом Верещагина, т.е. вычисляем искомые перемещения, перемножая соот-

ветствующие эпюры:

62

8 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Напряженное состояние в произвольной точке тела характеризуется нормальными и касательными напряжениями, зависящими от ориентации элементарной площадки в этой точке.

8.1 Напряженное состояние в точке

Выделим в произвольной точке тела элементарный кубик. В общем виде на его гранях возникает девять составляющих напряжений. Их совокупность называют тензором напряжений.

Обозначения: первый индекс означает, к какой площадке относится напряжение. Второй индекс – вдоль какой оси направлено напряжение.

Например: τZY относится к площадке, перпендикулярной оси Z и направлено вдоль оси Y,

σXX = σX относится к площадке, перпендикулярной оси X и направлено вдоль оси X.

Из условия равновесия τXY = τYX, τXZ = τZX, τYZ = τZY. Это – закон пар-

ности напряжений.

63

Правило знаков: все изображенные на рисунке напряжения положительны.

При определенном расположении кубика касательные напряжения на всех его площадках равны нулю. Такие площадки называют главными, а нормальные напряжения на этих площадках – главными напряжениями.

Нумеруют эти напряжения из условия, что σ1 > σ2 > σ3.

Различают

- линейное напряженное состояние (σ1 ≠ 0 или σ3 ≠ 0)

- плоское напряженное состояние (σ1 = 0 или σ2 = 0 или σ3 = 0)

- объемное напряженное состояние (σ1 ≠ 0; σ2 ≠ 0; σ3 ≠ 0)

64

Таким образом, напряжения при линейном напряженном состоянии на произвольной площадке определяют по формулам:

cos2

2 sin2

Для некоторых значений угла α напряжения составляют:

Так, при α=450 касательное напряжение имеет максимальное значение.

Это напряжение и обуславливает разрушение хрупких материалов под углом

α≈450.

Правило знаков

для σ – по растянутым (сжатым) волокнам: растяжение +, сжатие -.

для τ – по направлению вращения: по часовой стрелке +, против -.

65

8.3 Плоское напряженное состояние

Итак, получим напряжения на площадке α

1 cos2 2 sin2

1 2 sin2 2

Аналогично определим напряжения на площадке β, принимая β=90+α.

1 sin2 2 cos2

1 2 sin2 2

Выводы:

1)σα+σβ= σ1+σ2=const

2)τα=-τβ

3)σ → max при α=πn, при этом τ=0

4)τ → max при α=π/4

При вычислениях σ и τ различают прямую и обратную задачи.

Обратная задача. Дано: σα, τα, σβ, τβ Найти: σ1, σ2, α, β

8.3.1 Прямая задача

Прямая задача решается либо по формулам, либо графически с помощью круга Мора.

Откладываем отрезки ОА=σ2 и ОВ=σ1. Из точки С (середина отрезка АВ)

проводим окружность радиусом R AC 1 2 . Через точку С под углом

2 cos2 1 cos2 2 sin2

Аналогично можно доказать, что OD=σβ, KE=τα, DL=τβ.

8.3.2 Обратная задача

Откладываем отрезки ОD=σβ, ОE=σα, EK=τα и DL=τβ.

Точки K и L соединяем прямой, получаем точку С, вокруг которой проводим окружность радиусом R=CK.

Получаем ОА=σ2, ОВ=σ1. и угол 2α, равный углу KCE.

67

8.4Объемное напряженное состояние

Вобщем случае на гранях произвольно ориентированного кубика действует девять напряжений, из них шесть – независимых.

Напряженное состояние элементарного кубика определяется тензором напряжений:

В общем случае, зная главные напряжения σ1, σ2, σ3, можно вычислить σα, τα по формулам:

1 cos2 1 2 cos2 2 3 cos2 3

1 cos 1 2 2 cos 2 2 3 cos 3 2

где α1, α2, α3 – соответственно углы между нормалью к площадке α и направлением напряжений σ1, σ2, σ3.

Анализ уравнений показывает, что

Для проверки на прочность материала при сложном напряженном состоянии необходимо уметь определять напряжения на октаэдрической площадке, где α1=α2=α3=α. При этом cos2 α1+ cos2 α2+ cos2 α3=1, следовательно cos2 α=1/3.

68

8.5 Деформации при сложном напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука

Известно, что относительная продольная деформация равна , от-

E

носительная поперечная деформация равна ,

E

где - коэффициент Пуассона.

удлинения.

Причем, например ε1= ε1-1+ ε1-2+ ε1-3, где ε1-1 - это удлинение в направлении 1 от

напряжения σ1, ε1-2 - это удлинение в направлении 1 от

напряжения σ2,

ε1-3- это удлинение в направлении 1 от напря-

жения σ3.

Эти удлинения составляют соответственно

Аналогично можно получить формулы для определения ε2=и ε3. Итак, обобщенный закон Гука для изотропного тела имеет вид:

69

Из полученной формулы можно получить выражения для плоского напряженного состояния, считая одно из главных напряжений равным нулю, и для линейного напряженного состояния, считая два главных напряжения равными нулю.

8.5.1Объемная деформация

Получим формулу относительной объемной деформации εV. Объем тела до деформации составлял V0=abc, после деформации

Выводы:

1) Если μ=0,5, то εV=0, то есть изменения объема тела не происходит.

2) Если σ1 =σ2 =σ3=σ, то V 1 2 3 ,

E K

70