КУРС ЛЕКЦИЙ ПО СОПРОМАТУ

Определим положение нейтральной линии (из условия σНЛ=0):

где x0, y0 – координаты нейтральной линии.

Получено уравнение нейтральной линии при косом изгибе

tg IX tg IY

где α – угол наклона силовой плоскости; β – угол наклона нейтральной линии.

Выводы из уравнения нейтральной линии:

1.Если IX ≠ IY, то α ≠ β, то есть силовая плоскость и нейтральная линия не взаимно перпендикулярны.

2.Нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

3.Если IX = IY, то α = β, а значит изгиб – плоский.

10.1.1 Определение напряжений при косом изгибе

Напряжения в опасных точках А и В (см. рисунок ниже) определяем по формулам

Условие прочности для данного случая имеет вид:

81

В общем виде

Чтобы подобрать сечение балки при косом изгибе, нужно задаться со-

отношением WX (например, для прямоугольника - это h ).

Для круглого сечения, где косой изгиб невозможен, условие прочности имеет вид

max MИ P

WОС

WОС d3 – осевой момент сопротивления сечения. 32

82

10.2 Изгиб с растяжением (сжатием)

Изгиб с растяжением (сжатием) имеет место, если в сечении балки от действия внешних усилий возникает продольная сила и хотя бы один изгибающий момент.

В данном случае от внешних усилий (силы F и момента М) возникают внутренние усилия MX, MY и N.

Найдем напряжения от этих усилий в точке с координатами x, у:

N MX y MY x A IX Iy

В данном случае N F, MX M cos , MY M sin

В общем виде N MX y MY x .

Усилие N в формулы следует подставлять с учетом знака. Наибольшие напряжения находят по формуле

83

Для круглого сечения, где косой изгиб невозможен, условие прочно-

10.2.1 Определения напряжений при изгибе с растяжением (сжатием)

Построим эпюры напряжений в сечении балки от усилий, представленных выше.

Знаки напряжений можно указывать в квадрантах (четвертях) сечения. Например, знаки показывают, что от момента MX волокна в верхних четвертях сечения растянуты, а в нижних сжаты. От момента MY волокна правых четвертей растянуты, левых сжаты. От продольной силы N все волокна растянуты.

84

нией для случая косого изгиба. На этой же линии строим эпюру напряжения

от продольной силы σN. Суммарную эпюру строим, складывая арифметически эпюры от результирующего изгибающего момента и от продольной силы. Точка на данной эпюре, соответствующая напряжению, равному нулю, показывает нам расположение нейтральной линии.

10.2.2 Подбор сечения при изгибе с растяжением (сжатием)

Допустим, нам требуется подобрать диаметра балки по условию прочности:

Поскольку решение такого неравенства представляется сравнительно сложным, можно упростить решение: первоначально подбираем размер сече-

ния без учета продольной силы N: d 3 32MИ

[ ]

Затем размер округляем до типового значения и выполняем проверку условия прочности по полной формуле.

Если условие прочности не соблюдается, размер сечения увеличиваем и проверку повторяем. Допускается перенапряжение в пределах 5%.

10.2.3. Внецентренное растяжение (сжатие)

Внецентренное растяжение (сжатие) является частным случаем изгиба с растяжением (сжатием).

85

Пусть сила F приложена в точке p (полюсе) с координатами xp, yp. При этом она создает три внутренних усилия: продольную силу N=F и изгибающие моменты MX=F·xp и MY=F·yp, таким образом, имеет место косой изгиб с растяжением (сжатием).

Напряжение в произвольной точке (x, y) найдем по известной формуле

Определим положение нейтральной линии.

Так как напряжение на нейтральной линии равно нулю, то очевидно,

что

где x0, y0 – координаты нейтральной линии.

Найдем xн и yн - координаты пересечения нейт-ральной линии с осями X и Y:

Выводы из уравнения нейтральной линии:

1.Нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения.

2.Нейтральная линия проходит через четверть, противоположную четверти полюса.

3.Положение нейтральной линии не зависит от величины и знака силы F.

4.Чем ближе к началу координат расположен полюс, тем дальше от начала координат проходит нейтральная линия и наоборот.

Из последнего вывода следует, что существует некоторое положение полюса, при котором нейтральная линия будет касаться контура сечения, то есть во всем сечении будет напряжение одного знака «+» или «-».

86

10.2.4 Ядро сечения

Ядром сечения называют область вокруг центра тяжести сечения, приложение силы в которую создаст во всем сечении напряжение одного знака.

Построим ядро сечения для прямоугольника:

Пусть нейтральная линия занимает

положение I-I, то есть xн b .

2

Тогда координату полюса, соответствующую такому положению, найдем из уравнения нейтральной линии.

Аналогично можно найти координаты полюса, соответствующие крайним положениям нейтральной линии II-II, III-III, IV-IV.

Отложив эти координаты на сечении, и соединив точки, получим ядро сечения в форме ромба.

Таким же образом строят ядро сечения для любой фигуры.

10.3 Изгиб с кручением

Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай изгиба с кручением: вал, передающий крутящий момент.

Пусть на вал круглого сечения, закрепленный в подшипники А и В, действуют следующие внешние нагрузки:

-сила тяжести шкива F;

-натяжение ремней T и t;

-момент М, передаваемый через вал на шкив.

Силой тяжести вала и трением в подшипниках пренебрегаем.

87

Для определения опасного сечения вала построим эпюры изгибающих моментов MX, MY и крутящего момента MК.

Нормальные и касательные напряжения будем определять по известным формулам:

Однако в расчетах на прочность напряжениями от поперечных сил, виду их малости, пренебрежем.

Построим эпюры напряжений в опасном сечении вала:

Опасными точками являются наиболее удаленные от нейтральной линии точки 1 и 2. В нашем примере вал изготовлен из стали, в которой [σ]р=[σ]с, поэтому они одинаково опасны. Определим напряжения в точке 1:

Поскольку в опасной точке присутствуют и нормальные и касательные напряжения, следует найти эквивалентное напряжение, воспользовавшись какой-либо (приемлемой для материала вала) теорией прочности:

89

Для малоуглеродистой стали будем использовать III теорию прочности. Однако, для вычисления наибольших напряжений в круглом сечении можно воспользоваться формулой, выраженной через приведенный момент,

Например, по III теории прочности

III

эквIII Mпр ,

Wос

Таким образом, условие прочности для круглого сечения по III теории прочности имеет вид:

Проектировочный расчет (подбор диаметра вала), выполненный по этой формуле, имеет вид:

10.3.1 Расчет вала некруглого сечения

Произведем прочностной расчет вала прямоугольного сечения, в котором имеют место те же внутренние силовые факторы, что и в предыдущем примере.

Построим эпюры напряжений в опасном сечении вала:

90