Tema_4

Тема 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРОВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

1) Закон движения материальной точки в вязкой среде определяется соотношениями х=0,2е^-0,5t sin(πt), y=0.4e^-0.5t sin(πt)+1, z=0 (координаты заданы в метрах, время t - в секундах). Определить модуль равнодействующей сил, действующих на точку, если ее масса m = 2 г.

Движение материальной точки в проекциях на оси координат:

m = F_x , m = F_y

= 0,2е^-0,5t sin(πt)=0.2 е^-0,5t sin(πt) ={(uv)= +}=0.2(е^-0,5t (-0.5)sin(πt) + е^-0,5t πcos(πt)=

=е^-0,5t[ 0.2cos(πt)-0.1sin(πt)] = V_x

0,4е^-0,5t sin(πt)+1=0.4 е^-0,5t sin(πt) +1 ={(uv)= +}=0.4(е^-0,5t (-0.5)sin(πt) + е^-0,5t πcos(πt)=

=е^-0,5t [0.4cos(πt)-0.2sin(πt)] = V_y

= е^-0,5t [0.2cos(πt)-0.1sin(πt)] ={(uv)= +}= е^-0,5t [(-0.5)(0.2πcos(πt)-0.1sin(πt) + (-0.2π²sin(πt))-

0.1πcos(πt)]= е^-0,5t [0.05sin(πt) - 0.2π²sin(πt) - 0.2πcos(πt)] = е^-0,5t [(0.05- 0.2π²)sin(πt) - 0.2πcos(πt)]

= е^-0,5t [0.4cos(πt)-0.2sin(πt)] ={(uv)= +}= е^-0,5t [(-0.5)(0.4πcos(πt)-0.2sin(πt) + (-0.4π²sin(πt))-

0.2πcos(πt)]= е^-0,5t [0.1sin(πt) - 0.4π²sin(πt) - 0.4πcos(πt)] = е^-0,5t [(0.1 - 0.4π²)sin(πt) - 0.4πcos(πt)]

F =

Ответ: F = 8.944*10^-4 е^-0,5t [(0.25 - π²)sin(πt) - πcos(πt)]

2) Тяжелое тело, брошенное вверх под углом 60^о к горизонту с начальной скоростью 20 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить высоту траектории h и скорости тела v_h на ее вершине. Какую скорость тело будет иметь через 2 секунды после броска?

В полете на тело брошенное под углом действует только сила тяжести Р̅. Поэтому дифференциальное уравнение принимает вид :

m=0 , m=-P̅ ↔ =0 , =-g

Проинтегрируем по времени записанные уравнения получим:

∫ = ∫0dt , ∫ = -∫gdt

В результате имеем проекции вектора скорости снаряда на оси координат:

V_x= C₁, V_z = -gt + C₂

Интегрируем полученные выражения ещё раз, тем самым определим координаты снаряда как функцию времени

∫ = ∫C₁ dt → x = C₁t + C₄ , ∫ = -∫gdt + ∫C₂dt → z = - + C₂t + C₄

Для определение С₁, С₂, С₃, С₄ полагаем что x₀ = z₀ = 0 , при t = 0 отсюда найдем проекции начальной скорости:

V_0x = V₀ cos α = C₁ = 10 , V_0z = V₀ sin α = C₂ = 17.32 , С₃ = С₄ = 0

Теперь можно написать записать уравнение движение тела:

x = 10t z = - + 17.32t

Найдем время при V_z = 0 (т.е. на наивысшей точке) t = = 1.767 c. Подставим это значение z = - + 17.32t получим высоту наивысшей точки:

h = 4.9 * (1.767)² + 17.32*1.767 =15.305м.

V_x(2) = 10 . V_z(2) = -9.8*2 + 17.32 = -2,28 , V(2) = =10.256

Ответ: На вершине траектории при V_z = 0, V_h= V_x = 10 , h = 15.305м, V(2) = 10.256

3) На участке b₀b₁ тяжёлое тело скользит по наклонной шероховатой плоскости и далее свободно падает на горизонтальную поверхность, касаясь ее в положении b₂ (рис 2). Определить коэффициент трения f наклонной плоскости, если b₀b₁ = S = 2м, L = 1м , H = 2м, α = 30^o. Скорость v₀ тела в положении b₀ равна 3 .