Tema_5

Тема 5. ВЕКТОРНАЯ ТЕОРЕМА ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

1) Шарик , подвешенный на нити длинной 30 см , движется по окружности , образуя конический маятник . определить натяжении нити Т и скорость шарика v , если нить составляет с веревкой угол 60⁰ , а вес шарика 1 Н. Использовать изображенную на рисунке систему координат.

Построим подвижную естественную систему координат. По принципу Даламбера записываем : Р̅ + Т̅ + Ф̅ῖ + Ф̅п = 0 Ф̅ῖ = ; Ф̅п = = Составим дифференциальные уравнения движения точки в подвижной естественной системе координат: m = 0; m = Tsinα ; P = Tcosα

α

y

Ф_п Т̅ Ф_ῖ

x

Р̅

V̅

(т.к. шари движется по одной плоскости)

Из системы уравнений находим:

V = const ; T = = 2 H; v = = 2.1 .

2) Тяжёлое тело брошенное под углом 30⁰ к горизонту со скоростью v = 20 .Определить его скорость через 2 секунды полета.

В полете на тело действует лишь одна постоянная сила - сила тяжести F̅_T соответственно проекции начальной скорости на оси равны:

ox: | V_0x = V₀ cosα = 17.32

oy: | V_0y = V₀ sinα = 10

Уравнение изменения скорости по времени

записывается в виде:

V_x = { V_x – const }= 17.32 ;

V_y = V_0y – gt = -9.6

Ответ: V_t=2 = = 19.8

3) Материальная точка массой 10 грамм движется в плоскости oxy под действием силы F̅ согласно уравнениям x = t, y = t² + 1 (координаты заданы в метрах, время t - в секундах). Требуется :

1. Определить момент l₀ вектора количества движение точки относительно начала координат и двумя способами вычислить модуль вектора при t = 0

2. Определить момент силы F̅ относительно начала координат ;

3. Двумя способами вычислить модуль вектора M₀(F̅) при t = 0 и t = 1с.

1. В данном законе движения траектория точки будет парабола с вершиной М(0;1)

Радиус вектора находим по формуле: r̅(t) = xi̅ + yj̅ = ti̅ +(t²+1)j̅

Найдём количество движение материальной точки: mv̅(t)=m = i̅ +2tj̅ тогда, момент l₀ вектора количества движение точки:

l₀ = r̅ ⨯ mv̅ = k̅ m = k̅m(2t² –(t²+1)) =m(t²-1)k̅

Другой способ определения l₀ ; ведь он есть вектор который определяется построением траектории и отмечаем на ней положение точки в момент времени t=0;

y=x²+1 M_(t=0)(0;1)

Далее определяется скорость и строем вектор скорости:

V̅_x = =1; V̅_y = = 2t V₀= 1 При известной скорости модуль вектора mv̅ определить легко. Плечо h вектора mv̅ относительно начала координат определим по рисунку. Теперь:

l₀ (0) = mvh =10г

б) По теореме изменений момента количества движений материальной точки:

= M₀(F) = 2mtk̅

в) В произвольный момент времени имеем:

M₀(F) = r̅(t) ⨯ F̅ = i̅ +k̅ = 2mt(t²+1)-2mt²= 2m(t³+t-t²)

M_0t=0 = 0: M_0t=1=2*0.01*1=0.02 H·м

Изображаем силу в положении точки t=0, t=1. Находим плечи h₁ и h₂ затем подставляем:

M_0t=0 = Fh₁ = 2*0.01*0*1=0 , M_0t=1 = Fh₂=2*0.01*1*1=0.02 H·м