Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Конспект лекций (полный)

.pdf
Скачиваний:
70
Добавлен:
13.11.2013
Размер:
1.08 Mб
Скачать

Интерполяция с помощью многочленов Лежандра

Пусть задан набор точек (x1,y1)(x2,y2)…(xn,yn), заданных на плоскости, причем xi ≠ xj при i≠j.

Для таких точек можно непосредственно написать формулу интерполяционного многочлена n-1 степени. Он будет иметь вид:

Pn

x y1

x x2

... x xn

y2

x x1 x x3 ... x xn

 

... yn

x x1 ... x xn 1

 

x

 

x

... x x

 

x

x

x

x

... x

x

 

x

x

... x

n

x

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1 n

 

 

2

1

2

3

2

n

 

 

n

1

 

 

 

Или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

(x x

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

x

i

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

i j

(x x

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кусочно-квадратичный полином

y x b

b x b x

2

...

 

0

1

2

 

 

Пусть на отрезке [a,b] задана сетка: a ≤ x1 < x2 <…< xn ≤ b

a ≤ y1 < y2 <…< yn ≤ b

Аппроксимируем функцию, заданную сеткой, кусочно-квадратный полином вида:

g

x a

x

2

a

x a

 

 

 

 

 

 

i

i 2

 

 

 

i1

i0

В интервале

Ii

xi , xi 1

При этом накладывается условие:

1.неразрывна в узлах сетки

gi x yi где 1 i n 1

2.

 

дифференцируема

g '

(x ) g '

(x

)

i

i

i 1

i 1

 

i 1,..., n 2

 

 

3. значение производной в некотором узле = некоторому значению g 'i x1 d1

Распишем подробнее накладываемое условие, тогда получим систему уравнений:

a

x

2

a

x

 

a

y

 

 

i 1,..., n 1

 

 

 

 

 

i 2

i

 

 

 

i1

 

i

 

 

i0

 

i

 

 

a

x

2

 

a

 

x

 

a

y

 

i 1,..., n 1

 

1

 

 

 

i 2

i

 

i1

 

i 1

 

i0

 

i 1

 

2a

 

x

 

a

 

2a

 

x

a

 

i 2

 

 

i 1

 

 

i1

 

 

i 1,2

i 1

i 1,1

 

2a12 x1 a11

d1

 

 

i 1,..., n 2

Методы аппроксимации сплайнами

«сплайн» - (фран. – «гибкая линейка»)

Введение

В общем виде кусочно-полиноминальный функции представляется

следующем образом:

p x p

x

 

 

 

 

i

 

 

 

j

p

j

 

p

(x )

 

 

 

i

i 1

i

x

x x

 

i

 

 

 

i 1

 

j0,1,..., n 1 i 1,..., k 1

a, b

Функция pi x представляет собой многочлен со степенью не выше m.

Условие неразрывности в узлах задается вторым уравнением, у которого j является производной от функции p(x).

При условии когда n = m возникает максимальное количество ограничений, при этом существует особый случай когда n = m = 3 и этот случай получил впервые название (термин) сплайн.

Простым сплайном называется кусочно-полиноминальная функция, задаваемая системой уравнений при n = m.

Линейный, квадратичный, кубический сплайн отличается от кусочнополиноминальной функции при n =1, 2, 3 соответственно.

Кубический сплайн

Пусть на отрезке [a,b] задана сетка:

a ≤ x1 ≤…≤ xn ≤ b a ≤ y1 ≤…≤ yn ≤ b

Аппроксимируем на каждом отрезке I данной сетки кубический полином вида:

c(x) c (x) a

x

3

a

x

2

a

x a

 

 

 

 

 

i

i3

 

 

i 2

 

 

i1

i 0

I

i

x , x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

xIi

i1,..., n 1

При этом необходимо чтобы выполнить следующее условие:

c

 

x c x

i 1

 

1

 

 

c '

1

x c '

x

i

i

 

 

c ''

 

 

x c ''

x

i 1

 

i

 

i 2,..., n 1

 

 

+2 условие, которое должно выполняться

c(xi ) yi

c '' xi c ''(xn ) 0 i 1,..., n

Тогда в аналитическом виде можно записать:

c (x) y y '(x x ) y ''

x x

 

 

i

i

 

 

 

i

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c ' (x) y ' y ''(x x )

y ''

 

y

 

i1

 

i

 

 

 

 

i

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

c '' (x) y ''

y ''

y ''

x x

 

i1

 

i

i

 

 

h

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

c ''' (x)

y ''

 

y ''

const

 

 

i1

 

i

 

 

i

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x x

 

3

y ''

 

 

y '

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

i

 

6h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

''

x x

 

2

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляется методом прогонки.

Многочлены Безье

Задаются в параметрической форме в следующем виде:

x p

(t)

 

x

 

 

 

 

y py

(t)

 

 

 

Пусть дан набор точек:

x y

x y

2

... x y

n

 

1 1

2

n

 

Данный набор точек называется ориентирами, тогда соответствующий многочлен Безье будет иметь вид:

m

px t Cmi ti 1 t m i xi i 0

m

py t Cmi ti 1 t m i yi i 0

Ci

 

m!

 

 

m

 

i!(m i)!

 

 

Тогда в матричном виде:

p

x

(t)

p(t)

 

 

 

p

 

(t)

 

y

 

 

 

 

 

m

p(t) Cmi ti 1 t m i pi , где

 

 

i 0m

pi

xi

 

 

 

yi

m 1

p '(t) m(1 t)m 1 p0 Cmi iti 1 1 t m i 1 (m i)ti 1 t m i 1 pi mt m 1 pm

i 1

p(0) p

 

0

p(1) p

m

 

0 t 1

 

При числе m > 5 для нахождения членов Безье более эффективна схема Горнера.

Свойства кривых Безье:

1. Кривая, порождаемая многогранником Безье, обладает следующими свойством:

Любую дугу входящую в нее также можно породить с помощью многочленов Безье

2.При

m

кривая Безье

к многограннику

Поверхности

Поверхность – непрерывное двухпараметрическое множество точек.

Поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно однозначно и сколь угодно точно решить вопрос о ее принадлежности к данной поверхности.

Поверхность может быть математически представлена в явном виде:

Z f (x, y)

В неявном виде:

g(x, y, z) 0

В параметрической форме:

x f (u, v)

 

 

y g(u, v)

 

z (u, v)

 

 

В векторной форме: p(u, v) x(u, v), y(u, v), z (u, v) В матричной форме и других видах задания поверхности.

Поверхность получаемая полиномом Лагранжа

Простейший алгоритм построения поверхности, по исходному точечному базису заключается в обобщении метода Лагранжа для нахождения полинома, который будет интегрировать все заданные точки.

Этот полином имеет вид:

p

q

 

 

 

i

y

j

Z (x, y) ij x

 

i 0

j 0

 

 

Недостаток данного способа:

При достаточно больших значениях p и q построенных таким образом поверхности, появляется нежелательная осцилляция, с которой борются уменьшением количества ячеек (точек), описывающим данный полином, это влечет за собой понижение степени полинома, описывающее данную поверхность.

Уравнение полиноминальной поверхности в форме Безье

Уравнение полиноминальной поверхности в форме Безье имеет вид:

 

n

m

n!

 

 

 

 

 

 

 

r(u, v)

ij

i

(1 u)

m i

 

j

(1 v)

m j

 

r

 

v

 

(n i)! j!

u

 

 

 

 

i 0

j 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rij – вершина характерного многогранника

m – число вершин по направлению движения v n - число вершин по направлению движения u i – текущая вершина по направлению u

j – текущая вершина по направлению v.