Конспект лекций (полный)
.pdfИнтерполяция с помощью многочленов Лежандра
Пусть задан набор точек (x1,y1)(x2,y2)…(xn,yn), заданных на плоскости, причем xi ≠ xj при i≠j.
Для таких точек можно непосредственно написать формулу интерполяционного многочлена n-1 степени. Он будет иметь вид:
Pn |
x y1 |
x x2 |
... x xn |
y2 |
x x1 x x3 ... x xn |
|
... yn |
x x1 ... x xn 1 |
|
|||||||||||||||||
x |
|
x |
... x x |
|
x |
x |
x |
x |
... x |
x |
|
x |
x |
... x |
n |
x |
n 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 n |
|
|
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
n |
|
|
n |
1 |
|
|
|
||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(x x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
x |
i |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i 1 |
|
|
i j |
(x x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кусочно-квадратичный полином
y x b |
b x b x |
2 |
... |
|
|
||||
0 |
1 |
2 |
|
|
Пусть на отрезке [a,b] задана сетка: a ≤ x1 < x2 <…< xn ≤ b
a ≤ y1 < y2 <…< yn ≤ b
Аппроксимируем функцию, заданную сеткой, кусочно-квадратный полином вида:
g |
x a |
x |
2 |
a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i 2 |
|
|
|
i1 |
i0 |
В интервале |
Ii |
xi , xi 1 |
При этом накладывается условие:
1.неразрывна в узлах сетки
gi x yi где 1 i n 1
2. |
|
дифференцируема |
||
g ' |
(x ) g ' |
(x |
) |
|
i |
i |
i 1 |
i 1 |
|
i 1,..., n 2 |
|
|
3. значение производной в некотором узле = некоторому значению g 'i x1 d1
Распишем подробнее накладываемое условие, тогда получим систему уравнений:
a |
x |
2 |
a |
x |
|
a |
y |
|
|
i 1,..., n 1 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
i 2 |
i |
|
|
|
i1 |
|
i |
|
|
i0 |
|
i |
|
|
||
a |
x |
2 |
|
a |
|
x |
|
a |
y |
|
i 1,..., n 1 |
|||||
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
i 2 |
i |
|
i1 |
|
i 1 |
|
i0 |
|
i 1 |
|
||||||
2a |
|
x |
|
a |
|
2a |
|
x |
a |
|
||||||
i 2 |
|
|
i 1 |
|
|
i1 |
|
|
i 1,2 |
i 1 |
i 1,1 |
|
||||
2a12 x1 a11 |
d1 |
|
|
i 1,..., n 2 |
Методы аппроксимации сплайнами
«сплайн» - (фран. – «гибкая линейка»)
Введение
В общем виде кусочно-полиноминальный функции представляется
следующем образом:
p x p |
x |
|||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
p |
j |
|
|
p |
(x ) |
|||||
|
|
|||||
|
i |
i 1 |
i |
|||
x |
x x |
|
||||
i |
|
|
|
i 1 |
|
j0,1,..., n 1 i 1,..., k 1
a, b
Функция pi x представляет собой многочлен со степенью не выше m.
Условие неразрывности в узлах задается вторым уравнением, у которого j является производной от функции p(x).
При условии когда n = m возникает максимальное количество ограничений, при этом существует особый случай когда n = m = 3 и этот случай получил впервые название (термин) сплайн.
Простым сплайном называется кусочно-полиноминальная функция, задаваемая системой уравнений при n = m.
Линейный, квадратичный, кубический сплайн отличается от кусочнополиноминальной функции при n =1, 2, 3 соответственно.
Кубический сплайн
Пусть на отрезке [a,b] задана сетка:
a ≤ x1 ≤…≤ xn ≤ b a ≤ y1 ≤…≤ yn ≤ b
Аппроксимируем на каждом отрезке I данной сетки кубический полином вида:
c(x) c (x) a |
x |
3 |
a |
x |
2 |
a |
x a |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
i |
i3 |
|
|
i 2 |
|
|
i1 |
i 0 |
I |
i |
x , x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xIi
i1,..., n 1
При этом необходимо чтобы выполнить следующее условие:
c |
|
x c x |
|||
i 1 |
|
1 |
|
|
|
c ' |
1 |
x c ' |
x |
||
i |
i |
|
|
||
c '' |
|
|
x c '' |
x |
|
i 1 |
|
i |
|
||
i 2,..., n 1 |
|
|
+2 условие, которое должно выполняться
c(xi ) yi
c '' xi c ''(xn ) 0 i 1,..., n
Тогда в аналитическом виде можно записать:
c (x) y y '(x x ) y '' |
x x |
|||||||||
|
|
i |
||||||||
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c ' (x) y ' y ''(x x ) |
y '' |
|
y |
|||||||
|
i1 |
|
||||||||
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
c '' (x) y '' |
y '' |
y '' |
x x |
|||||||
|
i1 |
|
i |
|||||||
i |
|
|
h |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
c ''' (x) |
y '' |
|
y '' |
const |
|
|
||||
i1 |
|
i |
|
|
||||||
i |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x x |
|
3 |
|
y '' |
|
|
y ' |
|
|
|||||
|
|
|
|
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
i 1 |
|
i |
|
6h |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||
'' |
x x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляется методом прогонки.
Многочлены Безье
Задаются в параметрической форме в следующем виде:
x p |
(t) |
|
|
x |
|
|
|
|
y py |
(t) |
|
|
|
|
Пусть дан набор точек:
x y |
x y |
2 |
... x y |
n |
|
1 1 |
2 |
n |
|
Данный набор точек называется ориентирами, тогда соответствующий многочлен Безье будет иметь вид:
m
px t Cmi ti 1 t m i xi i 0
m
py t Cmi ti 1 t m i yi i 0
Ci |
|
m! |
|
||
|
||
m |
|
i!(m i)! |
|
|
Тогда в матричном виде:
p |
x |
(t) |
|||
p(t) |
|
|
|
||
p |
|
(t) |
|||
|
y |
|
|||
|
|
|
|
m |
p(t) Cmi ti 1 t m i pi , где |
||
|
|
i 0m |
pi |
xi |
|
|
|
|
|
yi |
m 1
p '(t) m(1 t)m 1 p0 Cmi iti 1 1 t m i 1 (m i)ti 1 t m i 1 pi mt m 1 pm
i 1
p(0) p |
|
|
0 |
p(1) p |
m |
|
|
0 t 1 |
|
При числе m > 5 для нахождения членов Безье более эффективна схема Горнера.
Свойства кривых Безье:
1. Кривая, порождаемая многогранником Безье, обладает следующими свойством:
Любую дугу входящую в нее также можно породить с помощью многочленов Безье
2.При
m
кривая Безье
к многограннику
Поверхности
Поверхность – непрерывное двухпараметрическое множество точек.
Поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно однозначно и сколь угодно точно решить вопрос о ее принадлежности к данной поверхности.
Поверхность может быть математически представлена в явном виде:
Z f (x, y)
В неявном виде:
g(x, y, z) 0
В параметрической форме:
x f (u, v) |
||
|
|
|
y g(u, v) |
||
|
z (u, v) |
|
|
||
|
В векторной форме: p(u, v) x(u, v), y(u, v), z (u, v) В матричной форме и других видах задания поверхности.
Поверхность получаемая полиномом Лагранжа
Простейший алгоритм построения поверхности, по исходному точечному базису заключается в обобщении метода Лагранжа для нахождения полинома, который будет интегрировать все заданные точки.
Этот полином имеет вид:
p |
q |
|
|
|
i |
y |
j |
Z (x, y) ij x |
|
||
i 0 |
j 0 |
|
|
Недостаток данного способа:
При достаточно больших значениях p и q построенных таким образом поверхности, появляется нежелательная осцилляция, с которой борются уменьшением количества ячеек (точек), описывающим данный полином, это влечет за собой понижение степени полинома, описывающее данную поверхность.
Уравнение полиноминальной поверхности в форме Безье
Уравнение полиноминальной поверхности в форме Безье имеет вид:
|
n |
m |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
r(u, v) |
ij |
i |
(1 u) |
m i |
|
j |
(1 v) |
m j |
||
|
r |
|
v |
|||||||
|
(n i)! j! |
u |
|
|
|
|||||
|
i 0 |
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rij – вершина характерного многогранника
m – число вершин по направлению движения v n - число вершин по направлению движения u i – текущая вершина по направлению u
j – текущая вершина по направлению v.