Конспект лекций (полный)
.pdf
Математические модели геометрических объектов в трехмерном пространстве
Системы координат геометрических объектов в двухмерном пространстве
1.Декартова система координат
Y
X
2.Полярная система координат
ρ
φ
Системы координат в трехмерном измерении
1. Декартова система координат
Z
Y
x
y
z
X
2. Цилиндрическая система координат
Z
ρ
φ
H
Y
X
3. Сферическая система координат
Z
Y
ρ
φ2
φ1
X
Геометрические объекты
Прямые
1 способ. y = kx + b k = tg α
2 способ.
Ax + By + D = 0
A= xi+1 - xi
B= yi+1 - yi
D = xi+1 yi - xi yi+1
3способ.
xx1 y y1
x2 x1 |
y2 y1 |
4 способ.
x x |
|
at |
||
|
0 |
|
||
y y |
|
bt |
||
|
0 |
|||
|
|
|||
Параметрический способ задания.
5 способ.
A |
|
xy |
D |
B |
|
Матричный способ задания.
В матричных цифровых машинах.
6 способ.
r r |
e |
0 |
|
В векторных цифровых машинах.
Дуги и окружности
1 способ.
x x |
|
2 |
y y |
|
|
2 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
Неявно.
2способ.
x x0 r cos
y y0 r sin
Пример:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
R |
2 |
|
x x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
x x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ' |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2x |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
R |
2 |
x x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
R |
2 |
x x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
y '' |
|
R |
2 |
x x |
|
|
2 |
2x 2x |
|
x x |
|
|
R |
2 |
x x |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x x |
|
|
2 |
|
R |
2 |
x x |
|
2 |
|
2 |
(R |
2 |
(x x )) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 способ.
1
|
1 u |
2 |
|
2au |
|
|||
r a |
|
i |
j |
|||||
1 |
u |
2 |
1 u |
2 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
4 способ.
r ia sin u ja sin u
Кривые второго порядка
Общий вид уравнения второго порядка
ax |
2 |
|
2bxy cy |
2 |
2dx 2ey 1 0 |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
M |
|
(x |
, y ), M |
2 |
(x , y |
)...M |
5 |
(x |
, y ) |
|||||||
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
5 |
5 |
|||
ax |
2 |
2x y |
cy 2dx 2ey 1 0 |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 |
2x y |
|
cy2 |
2dx 2ey 1 0 |
||||||||||||
|
|
5 |
|
5 |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
Таким образом можно найти коэффициенты a, b, c, d, e.
Кривые второго порядка в параметрическом виде
1 B
v
A |
|
C |
||
|
|
|
|
|
0 |
u |
1 |
||
|
|
|
|
|
u2 jv2 uv u 0
u |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|||
jt2 |
t 1 |
|||||
v |
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
|||
jt2 |
t 1 |
|||||
t |
v |
|
|
|
||
u |
|
|
||||
|
|
|
||||
ju 1 u v v2
Параметрические уравнения третьего порядка
Кривая Фергюсона
p(r) mr |
3 |
nr |
2 |
pr q |
|
|
r – переменная, изменяющаяся от 0 до 1
n, p, m, q – вектора, определяющиеся из решения системы уравнения
p(0) A q |
||||
p(1) B m n p q |
||||
dp(0) |
|
dA |
p |
|
dr |
dr |
|||
|
|
|||
dp(1) |
|
dB |
3m 2n p |
|
dr |
dr |
|||
|
|
|||
Данное уравнение может быть представлено в матричном виде:
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|||
p r |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
2 |
r |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
1rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|||
p 0 p 1 p 0 p 1
Универсальная степенная функция или кривая МАИ
|
|
|
2x 1 0.5x |
|
m |
|
|
|
|||
y |
1 |
f 2 fx 1 0.5x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
x |
x |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l – максимальный размер
y |
|
y |
y |
|
|
|
max |
|
|
|
|
0 x 1 |
||
0 y 1 |
||
При значении f=0 и m=0 уравнение описывает уравнение окружности.
При значении f=0 и m=1 уравнение описывает уравнение параболы.
При значении f=1 и m=0 уравнение описывает уравнение прямой.