Элементы теории дискретных структур

1. Элементы теории дискретных структур…

Булевой функцией от n аргументов называется функция , заданная на множестве  и принимающая значения в двухэлементном множестве . Другими словами, булева функция от  аргументов сопоставляет каждому упорядоченному набору длины , составленному из элементов 0 и 1, либо 0, либо 1.

Булева функция  от  аргументов  обозначается так: .

Две булевы функции от  аргументов  и  называются равными, если любым одинаковым наборам значений аргументов  обе эти функции сопоставляют одинаковые элементы из множества , т.е.  для любых элементов .

Теорема 10.3 (о числе булевых функций от  аргументов). Число различных булевых функций от  аргументов равно .

Доказательство. Чтобы задать булеву функцию  от  аргументов, нужно перечислить все наборы  из нулей и единиц значений, которые могут принимать ее аргументы , и для каждого такого набора указать значение функции , которое она принимает на этом наборе.

2. ЛЕМЕНТАРНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В классической математике для задания функции обычно используются два способа: аналитический (запись формулой) и табличный (таблицами значений функции, какие приводятся, например, в справочниках). Подобными же способами могут задаваться логические функции.

При использовании табличного способа задания логических функций строится так называемая таблица истинности, в которой приводятся все возможные сочетания значений аргументов и соответствующие им значения логической функции. Так как число таких сочетаний конечно, таблица истинности позволяет определять значение функции для любых значений аргументов (в отличие от таблиц математических функций, которые позволяют задавать значения функции не для всех, а лишь для некоторых значений аргументов).

Таблица истинности функций двух аргументов представлена в табл. 1. Существует всего четыре функции одного аргумента.

ТАБЛИЦА 1: 

Если число аргументов функции равно n, то число различных сочетаний (наборов) значений аргументов составляет 2ⁿ, а число различных функций п аргументов-2²ⁿ. Так, при n=2 число наборов значений аргументов равно 2²=4, число функций 2⁴=16. Таблица истинности логических функций двух аргументов представлена в табл. 2. 

4. Полнота систем лог. Ф-ии.

Система логической функции {F1,F2,…,Fn}называется полной, если любая логическая функция из мн-во всех лог-х ф-ий может быть представлена в виде суперпозиции при помощи функций этой системы.

Даны F1, F2, …. ,Fn суперпозицией ф-ии этого класса называется любая замена арг-тов одной из этих функции на любые другие ф-ии

F2(F3,F1,F2(F3,…),X4,…Fn)

Логическая функция называется линейной, если она является линейной комбинацией своих аргументов с логическими константами, то есть, если ее можно представить в следующем виде:

F(X1,X2,…,Xn)=Ao+oA1*X1+oA2*X2+o…+oAn*Xn (L)

Функция(со штрихами) называется двойственной к данной

Функции . Если двойственная функция совпадает с самой

функцией, то функция называется самодвойственной. (S)

Для самодвойственных функций выполняется следующее равенство, при

помощи которого можно сформулировать правило проверки выполнения

этого свойства функции: =(со штрихами)

Функция называется монотонной, если для любых

логических констант из того, что

всегда будет следовать,

5. Понятие замкнутости систем

Класс логических функций (множество логических функций) называется замкнутым, если любая суперпозиция функций этого класса снова будет функцией этого же класса. Основными замкнутыми классами логических функций являются классы линейных, самодвойственных, монотонных, сохраняющих константу 0 и 1 функций. Эти классы имеют специальные обозначения и обозначаются соответственно: L, S, M, T0, T1. При помощи основных замкнутых классов логических функций можно установить полноту систем логических функций

Логическая функция называется сохраняющей

константу 0, если выполняется следующее условие: f (0,...,0)=0 . (То)

Логическая функция x называется сохраняющей константу 1,

если выполняется условие: f (1,...,1)=1. (Т1)

6. критерии полноты систем лог. Ф-ии.

Теорема (Пост). Для того, чтобы система логических функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы эта система содержала хотя бы одну функцию, не являющуюся линейной, содержала хотя бы одну функцию, не являющуюся самодвойственной, содержала хотя бы одну функцию, не являющуюся монотонной, содержала хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу 0 и хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу 1.

7. Применение лог.х ф-ий в анализе и синтезе….

Логическим устройством называется такое устройство, которое функционирует согласно законам логики. К таким устройствам относятся, прежде всего, компьютеры и основные узлы большинства современного оборудования. Логическими схемами называются условные изображения логических устройств в виде схем. Наиболее близкими по содержанию к логическим устройствам являются комбинационные схемы, которые 97

составляются из элементов, изображающих элементную базу логических устройств.

а) Отрицание

б) конъюкция

в) Отрицание конъюкции(Функция Шеффера)

г)сложение по модулю 2

д) Дизъюнкция

е) Отрицание Дизъюнкции

Основной целью анализа логических устройств является оптимизация устройств, то есть замена устройств на такие, которые функционально не отличаются от исходных, но содержат меньшее число элементов. Функцией проводимости переключательной схемы называется логическая функция, характеризующая работу данного логического устройства. Общая схема оптимизации логических устройств заключается в построении для них переключательных схем, в построении функции проводимости, упрощении функции проводимости и в построении для упрощенной функции проводимости переключательной схемы.