2) Система сходящихся сил

В этом случае линии действия всех сил, приложенных к твердому телу, пересекаются в одной точке. Выбирая начало координат в этой точке, получим три условия равновесия для сходящейся системы сил:

(1.9)

Остальные условия обратятся в тождества 00. Если система сходящихся сил лежит в одной плоскости, то для осей Оху получим два условия равновесия:

(1.10)

3) Система параллельных сил

Направив одну из осей, например z, параллельно силам, получим три скалярных условия равновесия:

, ,. (1.11)

Остальные условия обратятся в тождества 00.

Если среди сил, уравновешенность которых рассматривается, есть неизвестные, то условия равновесия (1.5), (1.8)–(1.11) становятся уравнениями равновесия для их определения. При решении задач статики заранее неизвестными величинами всегда являются реакции связей. Очевидно, что для того, чтобы задача статики по определению неизвестных сил при равновесии твердого тела была разрешимой, необходимо, чтобы число уравнений равновесия равнялось числу неизвестных величин. В этом случае задача статики называется статически определенной. Задачи, в которых число неизвестных величин больше числа уравнений, называются статически неопределенными. Такими являются задачи по определению реакции связей при наложении лишних связей. Статически неопределенные задачи решаются в курсе сопротивления материалов.

1.2. Указания к выполнению контрольной задачи с1

Задача С1 - на равновесие тела под действием плоской системы сил. В вариантах (, табл. 1.1, рис. 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9) жесткая рама опирается у конца A на неподвижный шарнир (см. пример 1.1), а у конца В либо на подвижный шарнир, либо на стержень. В вариантах ([1], табл 1.1, рис. 2, 4, 7) жесткая рама у конца D заделана в стену (см. пример 1.2). Задачи на равновесие твердых тел следует решать в следующей последовательности:

1. Выделить тело, равновесие которого необходимо рассмотреть в данной задаче. Изобразить его на чертеже.

2. Приложить к телу активные силы. Если есть распределенная нагрузка, заменить ее равнодействующей, определив ее модуль, направление и точку приложения.

3. Выяснить, какие связи наложены на выделенное тело. По принципу освобождаемости от связей А6 отбросить связи и на их место приложить к телу соответствующие реакции связей.

4. Выбрать оси координат и для полученной системы сил (активных сил и реакций связей) составить уравнения равновесия.

5. Из полученной системы алгебраических уравнений определить неизвестные реакции связей.

Пример 1.1. Жесткая рама АВСD (рис. 1.18), расположенная в вертикальной плоскости, опирается у конца А на неподвижный шарнир (рис. 1.8), а у конца D на стержень (рис. 1.10). Определить опорные реакции и, возникающие при действии силыР = 8 кН, пары сил с моментом М = 30 кН·м, равномерно распределенной нагрузки с интен-сивностью q = 2 кН/м вдоль отрезка . Даны размеры рамы и углы:2 м,2 м,3 м, γ = 45°, β= 30°.

Рис. 1.18

Решение. Выделяем раму АВСD (рис. 1.19). Заменим распреде-ленную нагрузку равнодействующей Q, численно равной произведению интенсивности q на длину действия нагрузки:

1,5 м, 3 кН.

Сила Q будет приложена посередине длины и сонаправлена вектору(рис. 1.19). Приложим к раме силуи пару сил с моментомМ. Применяя аксиому освобож-даемости от связей А6, действие стержневой опоры у конца D заменим реакцией , направленной вдоль стержня (рис. 1.10, 1.19). Действие цилиндрической шарнирно-неподвижной опоры у концаА рамы заменим реакцией . Выберем систему координатСху и разложим по аксиоме параллелограмма сил А3 реакцию , направление которой заранее неизвестно, на составляющиеипараллельно осямх и у (рис. 1.19). Составим уравнения равновесия для полученной произвольной плоской системы сил в первой форме (1.8):

(1.12)

где ,,.

В первых двух уравнениях системы (1.12) проекции сил , например, на осьх равны

,

где угол α откладывается от оси х против хода часовой стрелки (рис. 1.20), причем, если угол α острый, то проекция силы берется с положительным знаком, если тупой – с отрицательным знаком.

Рис. 1.20

В уравнении моментов (третье уравнение системы (1.12)) за точку, относительно которой по формуле (1.7) составляли моменты сил, приняли точку А. При вычислении моментов сил ивоспользовались теоремой Вариньона, предварительно разложив силы по аксиоме А3 на составляющие (рис. 1.19):

, .

Так как точка А находится на пересечении линий действия сил и, их моменты равны нулю. Поэтому за счет выбора точкиА в третьем уравнении имеем только одну неизвестную реакцию :

Откуда

–4,66 кН.

Подставляя значение реакции в первые два уравнения системы (1.12), определим составляющие реакциии:

–0,7 кН, 13,22 кН.

Знак минус в ответе означает, что реакция и составляющаяимеют направление, противоположное указанному на чертеже (рис. 1.19).

Пример 1.2. Рама АВСD у конца D заделана в стену (рис. 1.21). Определить реакции заделки при заданных в примере 1.1 размерах рамы и величинах нагрузки.

Решение. На выделенную раму АВСD (рис. 1.22) дейст-вуют сила Р = 8 кН, пара сил с моментом М = 30 кН·м. Равно-действующая распределенной нагрузки равна

3 кН.

П

Рис. 1.21

рименяя принцип освобо-ждаемости от связей А6, действие жесткой заделки у концаD заменим составляющими реакции заделки ии парой с реактивным моментом(рис. 1.11, 1.22). Выберем систему координатСху и составим уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил в форме (1.8), составляя уравнения моментов относительно точки D:

(1.13)

Из полученных алгебраических уравнений (1.13) определяем неизвестные величины:

6,93 кН;

–1 кН;

32,75 кН·м.

Рис. 1.22