2) Вращательное движение:

, (5.9)

где – момент инерции тела относительно оси вращенияz,  – его угловая скорость.

3) Плоскопараллельное движение. В этом случае кинетическая энергия тела вычисляется по формуле Кёнига:

, (5.10)

где – момент инерции тела относительно осиz, проходящей через его центр масс С.

Если механическая система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия будет равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в систему:

.

Для определения работы силы на элементарном перемещении вводится понятие элементарной работы силы. Элементарная работа силы А равна скалярному произведению векторов силы и элементарного перемещения:

А =  .

Вектор элементарного перемещения направляется по касательной к траектории в данной точке (рис. 5.6) и по модулю равен элементарной дугеds. Исходя из определения скалярного произведения векторов элементарную работу можно вычислить по следующим формулам:

или , (5.11)

где

, =dx+dy+ dz.

При этом знак элементарной работы будет положительным, если угол  острый. Если угол  тупой, то элементарная работа будет отрицательной.

Работа силы на конечном перемещении (рис. 5.6) равна криволинейному интегралу, взятому вдоль дуги кривой отдо, от элементарной работы:

. (5.12)

Рис. 5.6

Знак работы имеет следующий смысл: если сила способствует движению, то работа положительна, если не способствует движению - отрицательна.

Единицей измерения работы в системе СИ является 1 джоуль (Дж) =

= 1 Н м = 1 кг .

Примеры работы сил, наиболее часто используемые в задачах:

1) Работа сил тяжести:

.

При перемещении абсолютно твердого тела из положения с центром масс в точке (рис. 5.7) в положение с центром масс в точкеработа силы тяжести тела равна произведению веса тела на вертикальное перемещение его центра масс. В случае перемещения твердого тела из положения с центром масс в точкеC₂ в положение с центром масс в точке C₁ работа силы тяжести поменяет знак:

=  Ph, (5.13)

где.

Рис. 5.7

2) Работа силы трения скольжения. Величина силы трения, действующей на материальную точку М при ее движении по шероховатой поверхности (рис. 5.8), определяется по формуле Кулона-Амонтона , гдеf – коэффициент трения, N – величина нормальной реакции поверхности.

Тогда по формуле (5.12)

.

Если величина силы трения постоянная, то

, (5.14)

где .

Рис. 5.8

3) Работа силы, приложенной к вращающемуся телу. Элементарная работа силы , приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна

(5.15)

где – момент силыотносительно оси вращенияz, – элементарное угловое перемещение тела.

Работа силы на конечном угле поворота, гдеи– конечное и начальное значения угла, определяющего положение тела, вычисляется по формуле

, (5.16)

где - момент силыотносительно оси вращенияz.

В случае постоянного момента

. (5.17)

4) Работа внутренних сил твердого тела. Сумма работ всех внутренних сил абсолютно твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

5.2. Указания к выполнению контрольной задачи Д2

Теоремой об изменении кинетической энергии системы целесообразно воспользоваться в том случае, когда по условиям задачи необходимо определить скорости точек механической системы в заданные моменты времени, при условии, что можно вычислить, зная перемещения системы за заданный промежуток времени, работу всех приложенных к системе сил.

Условия задачи Д2 соответствуют этому случаю и ее следует решать с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы в следующей последовательности:

1) изобразить механическую систему в начальном и при необходи-мости в конечном положениях;

2) приложить к механической системе все внешние силы;

3) записать теорему об изменении кинетической энергии системы;

4) вычислить кинетическую энергию системы в начальном и конечном ее положениях;

5) вычислить сумму работ всех внешних сил на перемещении системы из начального положения в конечное; если сумма работ при положительном изменении кинетической энергии получится отрицательной, то необходимо ее пересчитать, изменив направление движения механизма на противоположное;

6) подставить результаты пп. 4 и 5 в п. 3;

7) используя уравнение, полученное в п. 6, определить искомую величину.