Пример 5.1.

Механическая система (рис. 5.9) состоит из груза 1, ступенчатых шкивов 2 и 3 с радиусами R₂, r₂, R₃, r₃ и цилиндрического катка 4, соединенных друг с другом нерастяжимыми нитями, намотанными на шкивы. Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы тяжести груза 1 и переменной силы F = f(s), приложенной к грузу 1 и зависящей от его перемещения s. На шкивы 2 и 3 при движении действуют постоянные моменты сил сопротивления M₂ и M₃. Учитывая трение скольжения тела 1 о плоскость с соответствующим коэффициентом трения f, моменты сил сопротивления шкивов и пренебрегая другими силами сопротивления, массами нитей, их проскальзыванием по шкивам, определить скорость груза V₁, когда он переместится на расстояние s = s₁. Массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Каток считать однородным круглым цилиндром.

Дано: m₁ = 10 кг, m₂ = 12 кг, m₃ = 10 кг, m₄ = 5 кг, R₂ = 0,3 м, r₂ = 0,1 м, R₃ = 0,4 м, r₃ = 0,2 м, f = 0,1, M₂ = 0,5 Н м, M₃ = 0,3 Н м, F = 10 (1 + 3s) Н, s₁ = 1,5 м,  = 45,  = 60.

Решение. На рис. 5.9 механическая система показана в начальном положении. На систему действуют внешние силы: силы тяжести ,,,, переменная сила, моменты сил сопротивленияM₂ и M₃, реакции ,,,и силы трения,. Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы (5.7):

T - =+,

где иT - кинетические энергии системы в начальном и конечном положениях. Так как в начальный момент система находилась в покое, то = 0. Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,= 0.

Следовательно, имеем

T = ++++++++

+ ++. (5.18)

Величина кинетической энергии Т равна сумме кинетических энергий всех тел системы:

Т = Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄. (5.19)

Рис. 5.9

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, определя-ется по формуле (5.8):

Т₁ = . (5.20)

Кинетическая энергия шкива 2, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле (5.9):

Т₂ = ,

где угловую скорость шкива необходимо выразить через искомую скоростьV₁: =. Учитывая, что момент инерции шкива с распределенной по ободу массой относительно оси вращения определяется по формуле для тонкого однородного кольца (п. 2 примеров вычисления моментов инерции однородных тел), имеем

. (5.21)

Кинетическая энергия шкива 3 также определяется по формуле (5.9):

Т₃ = ,

где =,.

Следовательно,

Т₃ = . (5.22)

Кинетическую энергию катка 4, совершающего плоскопараллельное движение, определим по формуле Кенига (5.10):

,

где момент инерции катка 4 относительно оси, проходящей через его центр масс, вычисляется по формуле для однородного цилиндра (п. 5 примеров вычисления моментов инерции однородных тел) . В формуле радиус катка обозначенR₄. Скорость центра масс катка V_c = . Учитывая, что каток катится без проскальзывания, имея мгновенный центр скорости в точкеK, выразим угловую скорость катка через скорость груза V₁:

.

Тогда

.(5.23)

Подставляя выражения (5.20), (5.21), (5.22), (5.23) в равенство (5.19), получим выражение кинетической энергии системы в конечном положении, когда груз 1 переместится на расстояние s₁, имея в этот момент скорость V₁:

. (5.24)

Подставляя в (5.24) числовые значения, имеем

Т = 11,66 . (5.25)

Найдем сумму работ всех внешних сил системы на ее перемещении, выражая перемещения системы через перемещение s₁ груза 1. При этом зависимости между перемещениями в задаче будут такими же, как между соответствующими скоростями: ,,.

Работу сил тяжести иопределим по формуле (5.13):

,

. (5.26)

= 0, = 0, так как силы тяжестииприложены к неподвижным точкам. По этой же причине= 0,= 0;= 0, так как силаперпендикулярна перемещению;= 0,= 0, так как силыиприложены в мгновенном центре скоростейK катка (V_к = 0).

Работу переменной силы вычислим по формуле

. (5.27)

Работу постоянных моментов M₂ и M₃ вычислим по формуле (5.17):

, (5.28)

. (5.29)

Работу силы трения определим по формуле (5.14), учитывая, что:

. (5.30)

Складывая выражения работ всех внешних сил (5.26)–(5.30) и подставляя числовые значения всех величин, получим

. (5.31)

Подставляя выражения (5.25) и (5.31) в равенство (5.18), имеем 11,66= 63,38+15. Откуда определяем скорость груза при= 1,5 мV₁ = 3,32 м/с.

Пример 5.2. Рассмотрим предыдущий пример, изменив соединение тел механической системы, связанных друг с другом нитями, как показано на рис. 5.10. Определим скорость центра масс катка при заданных в примере 5.1 параметрах системы.

Решение. На механическую систему действуют те же силы, что и в примере 5.1 (рис. 5.10) и, следовательно, теорема об изменении кинетической энергии представляется формулой (5.18).

Рис. 5.10

Вычислим кинетическую энергию механической системы, выражая кинематические характеристики тел посредством уравнений кинематических связей через искомую скорость центра масс катка . В формуле (5.19) вычислим сначала кинетическую энергиюкатка4, совершающего плоскопараллельное движение, по формуле (5.10)

, (5.32)

где момент инерции однородного катка радиуса относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно сечению катка и направленной на читателя, равен

. (5.33)

Так как каток имеет мгновенный центр скоростей в точке касания неподвижной поверхности K, угловую скорость катка выделим через скорость его центра масс по формуле (3.5):

. (5.34)

Подставляя (5.33) и (5.34) в формулу (5.32), получим:

. (5.35)

Кинетическая энергия шкива 3, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле (5.9):

, (5.36)

где момент инерции шкива 3 с распределенной по ободу массой относительно оси вращения равен

. (5.37)

В формуле (5.36) угловая скорость шкива выражается через скорость касания шкива с нитью, равную скорости нити и скорости на ободе катка, по формуле (3.3.):, где.

Следовательно,

. (5.38)

Подставляя (5.37) и (5.38) в формулу (5.36), получим

. (5.39)

Аналогично определяется и кинетическая энергия шкива 2:

,

где ,

. (5.40)

Следовательно,

. (5.41)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, определится по формуле

, (5.42)

где скорость груза связана с угловой скоростью шкивапо формуле (3.3):

. (5.43)

Следовательно, учитывая формулу (5.40)

. (5.44)

Тогда формула (5.42) примет вид:

. (5.45)

Складывая формулы (5.35), (5.39), (5.41) и (5.45), получим кинетическую энергию механической системы:

,

или после подстановки числовых значений

Т = 188,64. (5.46)

Вычислим сумму работ всех внешних сил системы на ее перемещении, выражая перемещения точек приложения сил через перемещение груза1.

Преобразуем кинематические уравнения связи (5.44), (5.40), (5.38), подставляя численные значения:

0,75;10,= 7,5. (5.47)

Зависимости между перемещениями после интегрирования кинематических уравнений связи (5.47) будут такими же, как между скоростями:

= 0,75,10,7,5, (5.48)

где – перемещение центра масс катка 4 при перемещении груза1 на расстояние ;– угол поворота шкива2, – угол поворота шкива3 при перемещении груза 1 на расстояние .

Работа переменной силы останется такой же как в примере (5.1):

Дж. (5.49)

Работа силы тяжести также не изменится:

Дж. (5.50)

Работу силы тяжести определим по формуле (5.26), вычисляя значениепо формуле (5.48):

Дж. (5.51)

Работу постоянных моментов иопределим по формуле (5.17), вычисляя значенияипо формулам (5.48):

Дж. (5.52)

Дж. (5.53)

Значение работы силы трения вычислим по формуле (5.30):

Дж. (5.54)

Складывая работу всех внешних сил (5.49)-(5.53), получим

А^е = 48,75 + 103,9447 – 47,7396 – 7,5 – 3,375 – 10,3945 = 83,6856 Дж. (5.55)

Подставляя выражение (5.46) и значение (5.55) в теорему (5.18), получим

188,64= 83,6856.

Откуда скорость центра масс катка 4 при = 1,5 м равна0,6661 м/с.

Скорость груза 1, которая вычисляется в данном примере по формуле (5.47), уменьшится по сравнению со значением в примере 5.1:

0,888 м/с.