5. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

5.1. Краткие теоретические сведения

Рекомендуемая учебная литература: [2], гл. XXV, §121–127, c. 301–323; [4], гл. X,§10.1–10.5, c. 204–222.

Механическая система. Центр масс

Под механической системой в курсе теоретической механики понимается совокупность взаимодействующих между собой материальных точек, движения которых взаимосвязаны. Для изучения движения механической системы вводятся некоторые его характеристики.

Центром масс механической системы называется геометрическая точка, радиус-вектор которой в выбранной системе координат определяется формулой

, (5.1)

где n – число материальных точек системы, – массаk-й точки, – ее радиус-вектор, масса всей системы.

Декартовы координаты центра масс определяются соответственно формулами:

, ,, (5.2)

где ,, координаты k-й точки.

Частным случаем механической системы, состоящей из отдельных материальных точек, является абсолютно твердое тело, которое называют также неизменяемой механической системой, т.е. системой, расстояния между точками которой не изменяются при любых взаимодействиях. В случае абсолютно твердого тела точек будет не конечное число n, а бесчисленное множество, массы которых распределены в теле непрерывно.

Следовательно, для абсолютно твердого тела суммы, стоящие справа в формулах (5.1) и (5.2), перейдут в интегралы:

;

; ;.

В этих формулах интеграл, записанный условно, распространен по массе тела. Для твердых тел, находящихся вблизи поверхности Земли, центр масс и центр тяжести совпадают.

Моменты инерции

Инерционные свойства механической системы определяются шестью моментами инерции:

; ;; (5.3)

; ;. (5.4)

Соответственно для абсолютно твердого тела:

;;; (5.5)

; ;. (5.6)

Моменты инерции (5.3) и (5.5) называют осевыми, а (5.4) и (5.6) – центробежными. Осевые моменты инерции характеризуют меру инерции тел при вращательном движении. Центробежные моменты инерции характеризуют несимметричность распределения масс относительно координатных плоскостей.

Моменты инерции некоторых однородных тел будут следующими:

1. Круглая однородная пластина радиуса R и массой M (рис. 5.1):

;

.

2. Тонкое однородное кольцо радиуса R и массой M (рис. 5.2):

;

.

Рис. 5.3

3) Однородная прямоугольная пластина массой M со сторонами

2a и 2b (рис. 5.3):

; ;

.

4) Тонкий однородный стержень длиной 2a и массой M (рис. 5.4):

= 0; = ;

= .

Рис. 5.4

5) Круглый однородный цилиндр радиуса R и массой M (рис. 5.5):

;

Рис. 5.5

В случае, когда необходимо определить момент инерции относительно оси, например , параллельной центральной, т.е. проходящей через центр массС, момент инерции определяется по формуле Гюйгенса-Штейнера:

,

где – момент инерции относительно центральной оси;– момент инерции относительно оси, параллельной центральной;M – масса тела; d – расстояние между указанными осями.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема об изменении кинетической энергии имеет следующую формулировку: изменение кинетической энергии Т механической системы при ее перемещении из начального в текущее (конечное) положение равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутреннихсил, приложенных к точкам системы:

. (5.7)

Кинетическая энергия механической системы, состоящей из n отдельных материальных точек, определяется по формуле

,

где –скорость k-й материальной точки массой .

Соответственно для абсолютно твердого тела

,

где интеграл распространен по массе тела.

Формулы для вычисления кинетической энергии тел в разных случаях движения будут следующими:

1) Поступательное движение:

, (5.8)

где M – масса тела, – скорость его центра масс.